Отдельные участки овалов являются кривыми постоянной кривизны они могут быть начерчены с помощью циркуля, в связи с чем их называют циркульными кривыми. Кривые, имеющие переменную кривизну, вычерчивают с помощью лекал и называют лекальными кривыми. К лекальным кривым относятся: эллипс, парабола, гипербола, эвольвента окружности, различного вида циклоиды, синусоиды, различные спирали. Многие лекальные кривые образуются в результате плоски сечений различных поверхностей. Так, например, эллипс, парабола и гипербола образуются при пересечении поверхности конуса плоскостями различного наклона.

Эллипс. Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом. Существует много способов вычерчивания эллипса. Наиболее распространенным является способ двух окружностей, диаметры которых равны большой и малой осям эллипса. Если через центр О провести произвольный диаметр, то он пересечет окружности в точках Е, F и G, Н. Через полученные точки проводят-прямые, параллельные осям эллипса; пересечение этих прямых определит две точки эллипса К и L. Обычно диаметры проводят, деля одну из окружностей на 12 равных частей.

Пусть требуется вписать эллипс в параллелограмм. Принимают нижнюю сторону параллелограмма за сторону квадрата, строят на ней квадрат и вписывают в него окружность. Центру О окружности будет соответствовать центр О’ эллипса, диаметру АВ окружности будет соответствовать сопряженный диаметр А’В’ эллипса и т. д. Делят половину диаметра OD и половину сопряженного диаметра O’D’ на равные части (например, на четыре) и проводят через точки деления линии, параллельные АВ. На соответственных прямых будут находиться соответствующие точки окружности и эллипса, например Е и Е’. Получают эти точки с помощью ломаных прямых, параллельных ломаной ODO’. В технике эллипсы встречаются в спицах маховиков, в эллиптических зубчатых колесах.

Источник

Глава 3. Некоторые геометрические построения

§ 22. Лекальные кривые

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс, параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду, эвольвенту и др.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37, б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные Части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи, в пересечении которых получают точки эллипса.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис. 38, а). С этой целью строят прямоугольник ОАВС и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямым с заданными на них точками А и В (рис. 38, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и нумеруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую зтак прямых.

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим ассимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если ассимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА₁ отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку l, окружностью, описанной из центра О₁, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, Получают циклоиду.

Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2nR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения

Источник

Глава 3. Некоторые геометрические построения

§ 22. Лекальные кривые

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс, параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду, эвольвенту и др.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37, б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные Части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи, в пересечении которых получают точки эллипса.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис. 38, а). С этой целью строят прямоугольник ОАВС и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямым с заданными на них точками А и В (рис. 38, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и нумеруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую зтак прямых.

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим ассимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если ассимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА₁ отмечают промежуточное положение точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку l, окружностью, описанной из центра О₁, получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, Получают циклоиду.

Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2nR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения

Источник

Построение лекальных кривых

Коробовые кривые и овалы состоят из нескольких дуг различного радиуса. Это значит, что на всем протяжении каждой дуги кривизна кривой остается постоянной. Но есть много кривых, кривизна которых изменяется непрерывно на каждом элементе кривой, для их выполнения существуют так называемые лекала, поэтому и кривые называются лекальными кривыми. Для построения такой кривой сначала находят несколько точек (не менее трех), по которым проводят плавную линию.

К лекальным кривым, вычерчиваемым по точкам, относятся кривые различных диаграмм и так называемые плоские кривые второго порядка:

Эллипсом называется замкнутая кривая, сумма расстояний каждой точки которой от двух данных точек, называемых фокусами, постоянна (Рисунок 1) 1F₁+1F₂=2F₁+2F₂=. nF₁+nF₂=const.

Рассмотрим пример построения эллипса по заданному расстоянию между фокусами F₁ и F и его большой оси АВ (Рисунок 2). Для этого откладываем от точек А и В по половине расстояния между фокусами и получаем точки Е и Е₁ (таким же образом можно использовать любую точку, взятую на АВ между фокусами). Через точку О перпендикулярно АВ проводим линию, на которой будет расположена малая ось эллипса СD. Для этого делаем засечки на этой прямой из точки F₁ или F радиусом, равным половине длины большой оси, и получаем малую ось эллипса CD.

Чтобы получить одну точку, принадлежащую эллипсу, необходимо из фокуса F₂ провести дугу R=AE, а из фокуса F₁ провести дугу R=BE, в пересечении дуг получим точку I, принадлежащую эллипсу, так как AE+BE=AB. Таким же способом определяют любую точку эллипса, например точку II, для чего на АВ надо взять точку К.

Параболой называется плоская кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой, называемой директрисой, и от точки, называемой фокусом параболы (Рисунок 4): BK=KF, B₁K₁=K₁F и т.д. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы, от которого и зависит очертание этой кривой. С изменением параметра изменяется и парабола: чем меньше параметр, тем она уже, чем больше, тем парабола шире.

Рисунок 4 Парабола

Рисунок 5 Построение параболы по заданному параметру р

Рисунок 6 Гипербола Рисунок 7 Построение гиперболы Рассмотрим построение гиперболы по данной действительной оси АА1=2а и фокусами F1 и F (Рисунок 7). На горизонтальной прямой откладываем заданный параметр гиперболы АА1=2а и фокусы внутри гиперболы. Из точки F1 как из центра проводим ряд дуг произвольными радиусами r1, r2, r3 и т.д., затем из точки F1 засекаем эти дуги радиусами R1=r1+2a, R2=r2+2a, R3=r3+2a и т.д. Точки пересечения дуг будут принадлежать одной из ветвей гиперболы. Симметричную ветвь гиперболы строим подобным же образом или по известным уже точкам первой ветви. Для проведения мнимой оси отрезок АА1 делим пополам. Это будет центр О, через который проводим линию, перпендикулярную АА1. Для построения асимптот гиперболы описываем из точки О радиусом ОF1 окружность, а через вершины А и А1 проводим прямые, параллельные мнимой оси ОY. Точки пересечения проведенных прямых с окружностью определяют направление асимптот. Рисунок 8 Построение циклоиды Рисунок 9 Построение гипоциклоиды Пересечения вспомогательных дуг с производящей окружностью при ее движении дадут искомые точки, соединив которые плавной кривой по лекалу, получим кривую, называемую гипоциклоидой. Рисунок 10 Построение эпициклоиды Эпициклоидой (Рисунок 10) называется плоская кривая, которую описывает точка окружности при ее качении без скольжения по наружной стороне дуги неподвижной окружности. Если обозначить диаметр производящей окружности через D, радиус направляющей дуги через R, а центральный угол охвата эпициклоиды через â, то â=180D/R. Построение эпициклоиды производиться аналогично построению гипоциклоиды. Спиралью называется плоская кривая, описываемая точкой, удаляющейся от центра, совершая круговое движение в плоскости чертежа около центра спирали. В практике различают спирали с постоянным и постепенно возрастающим расстоянием между завитками. Обычно спирали строят по точка и вычерчивают с помощью лекала. Спираль Архимеда (Рисунок 11) – плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по радиусу-вектору, который вращается в плоскости вокруг неподвижной точки О. Рисунок 11 Спираль Архимеда Построим спираль Архимеда по заданному шагу. Шаг спирали А8 делим на несколько частей, например на 8. Из точки О как из центра проводим окружность радиуса R, равного шагу, и делим ее тоже на восемь частей и проводим радиусы-векторы 01’, 02’, 03’, …, 08’. Дугами, проведенными из центра О, переносим точку 1 с шага на радиус-вектор 01’, точку 2 на 02’, точку 3 на 03’ и т.д. Через полученные точки А1, А2, А3,…, А8 проводим кривую линию-спираль Архимеда (один оборот). Эвольвента круга (Рисунок 12) – это плоская кривая, образуемая точкой на прямой, которая перемещается без скольжения по неподвижной окружности заданного радиуса. Эта кривая иногда называется разверткой окружности. Рисунок 12 Эвольвента круга Построение эвольвенты начинается с деления заданной окружности на произвольное число равных частей, например двенадцать. В точках 1,2,3 и т.д. проводим касательные к окружности. На каждой из этих касательных последовательно откладываем длину окружности, равную πD/12, в точке 1,затем 2 πD/12 – в точке 2 и т.д. На касательной к точке 12 откладываем длину окружности, равную πD. Соединяя последовательно плавной кривой по лекалу полученные точки 1’, 2’, 3’ и т.д., получим кривую, называемую эвольвентой. Рисунок 13 Синусоида Источник Построение лекальных кривых Построение лекальных кривых осуществляют следующим образом: Сначала определяют точки принадлежащие кривой а затем соединяют их с помощью лекала. К лекальным кривым относят так называемые конические сечения парабола, гипербола, эллипс, получаемые в результате сечения кругового конуса плоскостью, эвольвента, синусоида и другие Содержание статьи: 1. Построение эллипса. 3. Построение параболы 4. Построение гиперболы. 5. Построение синусоиды. 6.Вычерчивание лекальных кривых. Рисунок 41. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу-(а) и эллипс-(б). Эллипс это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний каждой из ее точек-М до двух заданных точек F1 и F2,-является постоянной величиной. Эта постоянная величина равняется большой оси эллипса MF1 + MF2=AB.малая ось эллипса CD а также большая ось AB являются взаимно перпендикулярны и одна ось делит другую по полам. Рисунок 42. Построение эллипса по осям Таким образом оси делят кривую эллипса на четыре попарно симметричных равных частях. Если из концов малой оси CD, как из центров описать дугу окружности радиусом,равным половине большой оси эллипса R=OA=OB,то она пересечет ее в точках F1 и F2,которые называются фокусами. На рисунке 42 приводится пример построения эллипса по его осям.На заданных осях AB и CD,как на диаметрах строим две концентрические окружности с центром в точке О. Делим на произвольное число частей большую окружность и соединяем полученные точки прямыми с центром О. Из точек пересечения 1; 2; 3; 4; со вспомогательными окружностями проводим отрезки горизонтальных и вертикальных прямых до их взаимного пересечения в точках E,F,K,M, которые принадлежат эллипсу. Далее с помощью лекала соединяются построенные точки плавной кривой и получают в результате эллипс. Рисунок 43. Пересечение конуса плоскостью по параболе. Построение параболы по фокусу и директрисе. Таким образом построив несколько пар симметричных точек,проведем с помощью лекала через них плавную кривую. На рисунке( 43 в) приводится пример построения параболы касательной к двум прямым ОА и ОВ в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делят на одинаковое число равных частей(например делят на восемь). После этого нумеруются полученные точки деления и соединяются прямыми 1-1; 2-2; 3-3 (смотри рисунок 43, в) и так далее. Эти прямые к параболической кривой являются касательными. В образованный прямыми контур далее вписывают плавную касательную кривую-параболу. Построение гиперболы Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельно оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (смотри рисунок 45, а). Рисунок 45. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б). Две прямые KL и K1 L1, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами. Гиперболу можно построить по заданным вершинам a и b и фокусам F1 и F2. Вершины гиперболы определяем, вписывая прямоугольник в окружность построенном на фокусном расстоянии (отрезке F1 и F2), как на диаметре. На действительной оси АВ справа от фокуса F2 намечаем произвольные 1, 2, 3, 4, … Из фокусов F1 и F2 проводим дуги окружностей сначала радиусом а-1, затем b-1 до взаимного пересечения по обе стороны от действительной оси гиперболы. Далее выполним взаимное пересечение следующей пары дуг радиусами а-2 и b-2( точка S) и так далее. Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой ветви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относительно мнимой оси CD. Синусоида Рисунок 46. Построение синусоиды Синусоида представляет собой плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла. для построения синусоиды ( рисунок 46) через центр О окружности диаметра D проведем прямую ОХ и на ней отложим отрезок О1 А, равный длине окружности π D. Этот отрезок и окружность делим на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проведем взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединим с помощью лекала плавной кривой. Вычерчивание лекальных кривых Лекальные кривые строят по точкам. Соединяют эти точки с помощью лекал, предварительно от руки прорисовывая кривую по точкам. принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем: ***** РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях! Источник ← яндекс курсы обучение для детей прибавление дня с какого числа в 2021 → Вам также понравится выписка об оплате обучения 04.01.202428.07.2023 admin 0 с каким цветом можно сочетать зеленый цвет на ногтях 02.01.202401.07.2023 admin 0 с какими деньгами ехать в грузию 07.01.202401.07.2023 admin 0 Добавить комментарий Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.