Как начертить правильную четырехугольную пирамиду
Как лучше нарисовать пирамиду
К азалось бы, что может быть сложного или неправильного в изображении пирамиды? Неужели и здесь репетитор по математике не обходится без специальных приемов и методик? Отмечается всего лишь 4 точки (любые 3 из которых не лежат на одной прямой) и соединяются шестью отрезками. И все. Что здесь обсуждать? Но даже в такой простой ситуации репетитору по математике приходится исправлять ученические ошиби. Даже не столько математические, сколько стратегические. Какие? Рисунок, на котором невозможно рассмотреть или показать элементы пространственного тела, подписать значения величин, на котором не развернуться с дополнительными построениями, лучше переделать. Это должен понимать любой репетитор и в начале курса подготовки к ЕГЭ потратить некоторое время на обучение правилам и культуре чертежа. Кроме требований к его аккуратности и удобному расположению информации из условия задачи существуют еще и математические законы его выполнения. Рассмотрим их подробнее.
Правило метода изображений.
Метод изображений — отдельный предмет, изучению которого на математическом факультете МПГУ отводится целый семестр. То, что мы рисуем на бумаге – следы от проекций частей тела на некоторую плоскость. От нее зависит то, какие отрезки и какие сечения будут отчетливо видны, а какие окажутся «наползающими» друг на друга или скрытыми. Когда репетитор по математике решает, с какой стороны нарисовать ученику пирамиду, он определяет расположение плоскости и направление проецирования.
Существуют геометрические законы проецирования простейших стереометрических объектов. Длины непараллельных отрезков, например, при изображении могут менять соотношение своих длин (преподавателю лучше произнести «искажаются»). Если в реальности один из них больше другого, то в проекции может быть все с точностью до наоборот. Тоже самое и с углами. Прямой угол может проецироваться как в острый, так и в тупой. Для того, чтобы репетитору математики убедить в этом ученика стоит покрутить перед его глазами обычный угольник. Однако отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или совпадающих прямых, не меняется и, в частности, не искажаются середины сторон многоугольников (граней пирамиды). Это объясняет закон расположения основания высоты правильной треугольной пирамиды: оно должно являться точкой пересечения его медиан (центром тяжести). Не искажается также параллельность. Если в пространстве имеется параллельность между прямыми, то она сохраняется и между их следами. Поэтому изображением основания правильной четырехугольной пирамиды выбирается параллелограмм.
Читабельность рисунка.
Важно расположить пирамиду так, чтобы все ее части не просто были видны, а допускали бы дальнейшее усложнение чертежа: проведение апофем, следов от сечений и т.д.
Для этого строить, например, правильную пирамиду желательно снизу вверх через высоту (так она используется почти во всех задачах). Сначала репетитор по математике рисует основание пирамиды, затем ее центр и из этой точки восстанавливает перпендикуляр. 
Его верний конец выбирается так, чтобы все наклонные ребра были достаточно удалены друг от друга. Если строить в обратном порядке можно промахнуться с центром многоугольника. Конечно, это не критично для решения задач на правильную треугольную пирамиду, но все равно неприглядно для восприятия. Середины должна отображаться серединами.
Построение основания.
Независимо от вида основания тетраэдра его изображают остроугольным треугольником и вытягивают влево или вправо. Зачем? Если он будет равнобедренным, то одно из боковых ребер закроет высоту (если конечно ее основание правильно расположено). Это показано на рисунке. 
Фронтальное изображение тетраэдра. Правило репетитора.
Каким краем лучше всего изобразить пирамиду? То есть как оптимально выбрать плоскость для проецирования? Некоторые преподаватели и репетиторы по математике, к сожалению, не обращают внимание на такую «мелочь» как фронтальное расположение пирамиды. А зря. Существует два вида рисунка: «уголком основания к нам» или «уголком от нас» Рассмотрим рисунок с «уголком ABC от нас»:
Восстанавливаем высоту снизу вверх и выбираем положение ее конца (вершины пирамиды) с расчетом на приемлемый размах грани ABP. Для этого самое главное не попасть точкой P на линию AB. Иначе мы грань не увидим. Значительное отклонение от точки пересечения (в изображении) линий AB и OP вызывает довольно небольшое отклонение луча AP от луча AB и поэтому, чтобы добиться размаха грани ABP, необходимо выбирать точку P или очень низко или очень высоко. 
Последнее может чрезмерно укрупнить рисунок, вытягивая пирамиду вверх (сокращая пространство для самого решения), а низкая точка делает рисунок мелким. Поэтому я не рекомендую репетиторам по математике работать с таким фронтом. Лучше всего перевернуть треугольник ABC уголком к нам. 
Заметьте, что теперь положение точки P никак не сказывается на читабельности грани ABP и если 
не равнобедренный и «сильно остроугольный», а точка О – его центр тяжести (то есть O не на высоте основания), то высота пирамиды не будет закрыта ребром BP ни при каком расположении вершины P. 
В этом случае репетитор по математике получает определенную свободу выбора вершины пирамиды, что крайне важно для улучшения читабельности дальнейших построений в сложных задачах.
Прорисовка невидимых линий.
Репетитор по математике, конечно, может обойтись и без пунктиров. Однако что русскому то хорошо, то немцу смерь. Ученику — важно воспринять тело именно с той стороны, с которой его видит репетитор. Особенно при работе с гранями. Я советую преподавателю математики чаще называть грани не по вершинам, а по их естественному расположению: «ближняя», «дальняя», «левая», «правая». Если в голове у ребенка сформируется образ объекта «задом наперед», то возникнут проблемы с описанием хода дополнительных построений, чтением рисунка и даже с объяснением непонятных моментов решений.
о построении четырехугольной пирамиды.
Основание правильной четырехугольной пирамиды следует изображаться в виде параллелограмма. Почему? Конечно, можно так расположить квадрат к плоскости проецирования, чтобы прямые углы сохранились (и мы получим прямоугольник), но тогда апофемы двух ближних граней будут закрывать высоту пирамиды. Другого объяснения сложившимся стандартам изображений я не нахожу.
Александр Колпаков, репетитор по математике в Москве. Подготовка к ЕГЭ.
Сайт вызывает восхищение уровнем профессионализма, прежде всего, в методическом плане. Нашел много поучительного для себя, имея опыт репетиторства с 70-х годов прошлого века (по физике).
Сейчас развивается онлайн репетиторство и там непочатый край работы для мастеров класса Александра Николаевича.
Я,ученик 11 класса,рад что прочитал эту страничку,потому что до этого я рисовал чертежи как попало.Теперь,под конец года, я понял многие вещи о построении фигур.
Правильная четырехугольная пирамида
Популярное
Существует концепция, что вершина многогранника отдает энергию, а плоскость энергию принимает. В том случае, если в многограннике вершин больше чем плоскостей, то он обладает.
Если ты не любишь математику, опасайся хэллоуина! Злые силы придут за тобой в хэллоуин! Создай двух стражей, которые будут оберегать тебя от злых сил! Ну, или.
Фестиваль Увлекательной Науки состоится в Москве 24 и 25 апреля 2015 года на физфаке Московского педагогического университета (станция метро Спортивная).
Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости восхищались, можно только своими руками. Бумажные многогранники –.
Для первобытного человека когда-то костер стал новой формой общественной жизни. Ночь перестала быть неотвратимым черным провалом и ценность огня заставила.
Знакомые каждому с детства коробочки для Биг-Мака и картошки, стаканчик для Кока-Колы так же делают из бумажных разверток.
Испанский художник Okuda создал в Москве яркую скульптуру в форме звезды.
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Рисунок правильной пирамиды
Чертеж — первый и очень важный шаг в решении геометрической задачи. Каким должен быть рисунок правильной пирамиды?
Сначала вспомним свойства параллельного проектирования:
— параллельные отрезки фигуры изображаются параллельными отрезками;
— сохраняется отношение длин отрезков параллельных прямых и отрезков одной прямой.
Рисунок правильной треугольной пирамиды
Сначала изображаем основание. Поскольку при параллельном проектировании углы и отношения длин не параллельных отрезков не сохраняются, правильный треугольник в основании пирамиды изображается произвольным треугольником.
Центр правильного треугольника — точка пересечения медиан треугольника. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, мысленно соединяем вершину основания с серединой противолежащей стороны, приблизительно делим ее на три части, и на расстоянии 2 частей от вершины ставим точку. Из этой точки вверх проводим перпендикуляр. Это — высота пирамиды. Перпендикуляр рисуем такой длины, чтобы боковое ребро не закрывало изображение высоты.
Рисунок правильной четырехугольной пирамиды
Рисунок правильной четырехугольной пирамиды также начинаем с основания. Поскольку параллельность отрезков сохраняется, а величины углов — нет, то квадрат в основании изображается параллелограммом. Желательно острый угол этого параллелограмма делать поменьше, тогда боковые грани получаются больше. Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Проводим диагонали, из точки пересечения восстанавливаем перпендикуляр. Этот перпендикуляр — высота пирамиды. Выбираем длину перпендикуляра таким образом, чтобы боковые ребра не сливались между собой.
Рисунок правильной шестиугольной пирамиды
Поскольку при параллельном проектировании параллельность отрезков сохраняется, основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник — изображаем шестиугольником, у которого противолежащие стороны параллельны и равны. Центр правильного шестиугольника — точка пересечения его диагоналей. Чтобы не загромождать рисунок, диагонали не проводим, а находим эту точку приблизительно. Из нее восстанавливаем перпендикуляр — высоту пирамиды — так, чтобы боковые ребра не сливались между собой.
Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида
Что такое пирамида в общем случае?
В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.
Вам будет интересно: Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов
Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:
Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.
Правильная четырехугольная пирамида
Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.
Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).
Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.
Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.
Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.
Четыре основных линейных параметра
Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.
Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:
Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):
Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.
Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.
Площадь и объем фигуры
Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:
Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.
Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:
S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)
Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.
Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:
То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.
Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды
Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.
Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.
Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:
V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))
Как начертить пирамиду
Представления о пространстве у учащихся 5-х классов уже сформированы достаточно хорошо, чтобы они понимали, как начертить объемные геометрические фигуры. Чтобы у вашего ребенка не возникло трудностей при построении фигур в школе, научите его чертить пирамиду.
Чтобы начертить треугольную пирамиду сначала поставьте точку, обозначив центр нижней части пирамиды. От этой точки проведите при помощи карандаша и линейки косую линию немного вверх и вправо. Проведите симметричную линию той же длины на туже высоту влево. От точки центра проведите прямую линию вертикально вверх на высоту, вдвое больше одной из линий. Соедините боковые линии от нижних линий к верхней.
Проведите горизонтальную линию, чтобы в нижней части пирамиды у вас получился маленький треугольник с вершиной, направленной вниз. Заштрихуйте полученный треугольник горизонтальными линиями, чтобы показать, что он находится внутри пирамиды. Боковые стороны пирамиды заштрихуйте вертикальными линиями. Треугольная пирамида готова.
Чтобы начертить четырехугольную пирамиду проведите горизонтальную линию. Над ней на некотором расстоянии проведите еще одну линию той же длины, только немного правее. Соедините боковые линии, чтобы у вас получился скошенный вправо прямоугольник. В полученном прямоугольнике поставьте точку в его центре. Проведите вертикальную линию вверх. Эта линия должна по длине превышать вдвое длину боковой стороны прямоугольника. Из четырех углов прямоугольника проведите вверх линии к верхней точке центральной линии. Четырехугольная пирамида готова.
Чтобы начертить пятиугольную пирамиду примените тот же метод. Сначала начертите пятиугольную фигуру. Поставьте точку, обозначающую ее центр. Из этой точки проведите вертикальную линию вверх. Проведите линии вверх от углов пятиугольника к верхней точке центральной линии. Пятиугольная пирамида готова.