Как находить число делителей числа
Нахождение всех делителей числа, число делителей числа
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Как найти все делители числа
Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.
Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.
Для этого нужно выполнить следующие действия:
Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.
Решение
Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:
Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.
Решение
Начнем с разложения данного числа на простые множители.
567 189 63 21 7 1 3 3 3 3 7
| t 1 | t 2 | 3 t 1 · 7 t 2 |
| 0 | 0 | 3 0 · 7 0 = 1 |
| 0 | 1 | 3 0 · 7 1 = 7 |
| 1 | 0 | 3 1 · 7 0 = 3 |
| 1 | 1 | 3 1 · 7 1 = 21 |
| 2 | 0 | 3 2 · 7 0 = 9 |
| 2 | 1 | 3 2 · 7 1 = 63 |
| 3 | 0 | 3 3 · 7 0 = 27 |
| 3 | 1 | 3 3 · 7 1 = 189 |
| 4 | 0 | 3 4 · 7 0 = 81 |
| 4 | 1 | 3 4 · 7 1 = 567 |
Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.
Решение
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 65 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 25 |
| 0 | 0 | 2 | 1 | 2 0 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 325 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 3 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 39 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 15 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 195 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 75 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 2 0 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 975 |
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 26 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 130 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 50 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 2 1 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 650 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 6 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 78 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 390 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 150 |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 2 1 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 1950 |
| t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 0 = 4 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 0 · 13 1 = 52 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 0 = 20 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 1 · 13 1 = 260 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 0 = 100 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 2 · 3 0 · 5 2 · 13 1 = 1300 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 0 = 12 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 0 · 13 1 = 156 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 0 = 60 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 1 · 13 1 = 780 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 0 = 300 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 2 · 3 1 · 5 2 · 13 1 = 3900 |
Как определить количество делителей конкретного числа
Решение
Раскладываем число на множители.
84 42 21 7 1 2 2 3 7
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Как вычислить общие делители нескольких чисел
Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.
Разберем пару таких задач.
Решение
Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:
Решение
Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.
Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.
Нахождение всех делителей числа, число делителей числа.
Материал этой статьи про нахождение всех делителей числа. Сначала доказана теорема, которая задает вид всех общих делителей данного числа, после чего рассмотрены примеры нахождения всех делителей. Дальше показано, как вычисляется число делителей числа. В заключение подробно разобраны примеры нахождения всех общих делителей нескольких чисел и их количества.
Навигация по странице.
Все делители числа, их нахождение
Дальнейшее изложение подразумевает хорошее владение информацией статьи делители и кратные числа. Мы будем говорить лишь о поиске всех делителей целых положительных чисел (натуральных чисел). Этого вполне достаточно, так как одно из свойств делимости утверждает, что множество делителей целого отрицательного числа −a совпадает со множеством делителей противоположного числа a (которое будет положительным). Напомним также, что число 0 имеет бесконечно много делителей, и нахождение всех делителей нуля не представляет интереса.
Интереснее проходит поиск всех делителей составных чисел. Теоретическая основа этого процесса заключается в следующей теореме.
Из рассмотренной теоремы следует алгоритм нахождения всех положительных делителей данного числа. Чтобы найти все делители числа a нужно:
Весь процесс нахождения делителей удобно проводить, заполняя таблицу следующего вида:
Сначала разложим на простые множители число 567 :
Еще немного усложним пример.
Число делителей числа
Разложим 84 на простые множители:
число 84 имеет 24 делителя.
Нахождение всех общих делителей чисел и их количества
Из свойств наибольшего общего делителя следует, что множество делителей данных целых чисел совпадает со множеством делителей НОД этих чисел. Это утверждение относится как к двум числам, так и к трем, и к большему их количеству. Таким образом, чтобы найти все общие делители данных чисел, нужно определить НОД этих чисел и найти все его делители.
Рассмотрим решения примеров, в которых находятся все общие делители некоторых чисел.
Найти число по количеству делителей
Формат ввода
Вводится натуральное число – количество делителей, считая единицу и само число.
Формат вывода
Вывести наименьшее число с таким количеством делителей.
Пример 1
Ввод Вывод
8
24
Пример 2
Ввод Вывод
48
2520
Примечания
При решении нельзя использовать функции и методы, а также списки и словари.
Вот код, чтобы найти кол-во делителей числа, а как наоборот?
По количеству делителей числа определить само число
Название темы говорит само за себя, а теперь подробнее: По заданному количеству делителей числа.
Найти в диапазоне от M до N число с наибольшим количеством делителей. Функция: количество делителей заданного числа
Найти в диапазоне от M до N число с наибольшим количеством делителей. Функция: количество делителей.
Спасибо, у меня не получалось придумать ещё n, а так всё такое же.
Добавлено через 5 минут
Нет, но есть ограничение на время 1 секунда, а тест идёт 1064 ms, то есть нужно ускорить цикл немножко.
Добавлено через 15 минут
Я думаю можно уменьшить время пополам если уменьшить в range number пополам, т.к. делителей больше половины числа нет. Как это реализовать если в range int?
Решение
А почему там n в корень возводится, а не пополам делится?
Добавлено через 5 минут
Зачем проверка
Добавлено через 5 минут
gray621,
Добавлено через 2 минуты
А вообще, задача без функций и списков некорректна. Когда найдешь код, который пройдет все тесты, попробуй число, допустим, 59 или 77 
Добавлено через 15 секунд
Добавлено через 10 секунд
Добавлено через 22 минуты
Зачем проверка для чётного кол-во делителей
Делители числа 2016
Задача: сколько делителей имеет число 2016?
Делителем числа 2016 называют натуральное число на которое 2016 делится без остатка. Для нахождения всех делителей воспользуемся следующим алгоритмом:
1. Раскладываем 2016 на простые множители:
| 2016 | 2 |
| 1008 | 2 |
| 504 | 2 |
| 252 | 2 |
| 126 | 2 |
| 63 | 3 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Подробнее о том, как расскладывать число на простые множители, смотрите тут.
2. Перемножим между собой полученные множители (2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 7). Получаем:
2 · 2 = 4
2 · 2 · 2 = 8
2 · 2 · 2 · 2 = 16
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
2 · 3 = 6
2 · 2 · 3 = 12
2 · 2 · 2 · 3 = 24
2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 48
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 96
3 · 3 = 9
2 · 3 · 3 = 18
2 · 2 · 3 · 3 = 36
2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 288
2 · 7 = 14
2 · 2 · 7 = 28
2 · 2 · 2 · 7 = 56
2 · 2 · 2 · 2 · 7 = 112
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 7 = 224
3 · 7 = 21
2 · 3 · 7 = 42
2 · 2 · 3 · 7 = 84
2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 168
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 336
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 672
3 · 3 · 7 = 63
2 · 3 · 3 · 7 = 126
2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 252
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 504
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 1008
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2016
3. Получаем 3 набора значений:
Объединяем и получаем делители для числа 2016:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008, 2016
Найти количество делителей числа
Учеников часто просят найти количество делителей числа, но в действительности это полезно не только для учащихся. Подобные вычисления помогают быстро выяснить, как распределить значительный объём чего-то на несколько равных частей. К тому же можно узнать, сколько именно таких равных частей вообще может быть.
Заниматься поиском всех делителей числа в реальной жизни нередко приходится бухгалтерам и руководителям предприятий, когда они распределяют поступившую прибыль. Такие же расчёты очень полезны для самопроверки тем, кто постоянно имеет дело с разными вычислениями. Например, в строительстве при создании какого-нибудь проекта. Или же при проведении разных экспериментов, как теоретических, так и практических.
А кому ещё нужно искать количество делителей числа?
С этими расчётами периодически сталкиваются студенты, особенно если для них математика не относится к профильным предметам. Такие вычисления делают, разумеется, и преподаватели при проверке работ. Им нередко приходится обрабатывать большое количество домашних заданий, контрольных, курсовых. И всего вычислений оказывается столько, что в них очень легко запутаться. В такой ситуации калькулятор поможет проверить себя.
Программа нужна далеко не только тем, кто не умеет находить делители самостоятельно. В первую очередь она помогает тем, кто сильно загружен и может пропустить ошибку просто из-за большого объёма работы.
Какие ещё математические калькуляторы на нашем сайте вам пригодятся?
На нашем сайте опубликовано множество математических программ, которые вам могут пригодиться. Например, калькулятор квадратных корней позволяет быстро извлечь корень квадратный из числа. Конечно, справится с такой задачей без особых проблем может большинство школьников. Однако задание усложняется, если речь идёт о большом числе. И ещё легче запутаться, когда за запятой оказывается много цифр. А благодаря калькулятору вы получите точный результат, причём быстро.
А вот разница в процентах поможет сравнить между собой 2 разные величины в ситуации, когда что-то меняется. Например, у предпринимателя может скакать от месяца к месяцу прибыль. Причём это вполне вероятно по разным точкам или по разным источникам поступления прибыли. В такой ситуации очень важно увидеть тенденцию, быстро сделать расчёты, чтобы понять, что предпринимать дальше.
Преимущество калькуляторов в том, что они позволяют не тратить время. Сделать множество расчётов можно буквально за несколько минут. И при этом программы были неоднократно проверены. В правильности расчётов можно не сомневаться.
Как найти общее количество делителей числа?
Воспользоваться калькулятором довольно просто. Для этого достаточно указать какое-то число, которое вас интересует. А потом – нажать на кнопку для расчёта. Но обратите внимание на то, что число в любом случае должно быть целым.
Результат появится наверху, на зелёном фоне. При этом вы увидите перечисление делителей, а также указание их общего количества. Данные можно сохранить в файл, скопировать (как саму информацию, так и ссылку на результат расчётов). Кроме того, сведения можно вывести на печать.
Также есть кнопка «запомнить». Благодаря ей вы увидите результат, когда зайдёте в очередной раз на сайт под своим аккаунтом.
Вычисления проводятся очень быстро. Ждать не придётся: результат появится мгновенно! При этом пользоваться калькулятором можно с любого устройства, вне зависимости от того, идёт ли речь о планшете или о смартфоне.