Как находить объем в математике

Объемы фигур (ЕГЭ 2022)

Так же, как у плоских фигур есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем.

И так же, как рассуждения о площади начинаются с квадрата (1×1), рассуждения об объеме начинаются с куба (1x1x1).

Читай эту статью и научишься находить объемы различных фигур!

Объемы фигур — коротко о главном

Объем куба

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем призмы

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем пирамиды

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем шара

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем цилиндра

\( R\) – радиус основания

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем конуса

\( R\) – радиус основания

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем куба

Как было сказано выше, рассуждения об объеме начинаются с куба \( \displaystyle 1х1х1\).

Объем куба с ребром \( \displaystyle \text<1>\) метр равен \( \displaystyle \text<1>\) кубическому метру.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата \( \displaystyle 1х1\) и обозначалась она \( \displaystyle \text<1>\) м.кв.

Ну вот, а объем куба с ребром \( \displaystyle \text<1>\) называется кубическим метром и обозначается \( \displaystyle \text<1>\) м.кв.

Что же такое \( \displaystyle \text<2>\) м.кв.? А вот, смотри:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Это два кубика с ребром \( \displaystyle \text<1>\).

А чему равен объем куба с ребром \( \displaystyle \text<2>\)?

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Сколько в большом кубе (с ребром \( \displaystyle \text<2>\)) маленьких (с ребром \( \displaystyle \text<1>\))?

Конечно, \( \displaystyle \text<8>\). Поэтому объем куба с ребром \( \displaystyle \text<2>\) равен \( \displaystyle \text<8>\) кубическим метрам, то есть \( \displaystyle \text<8>\) м.кв.

А ведь \( \displaystyle \text<8>\) это \( \displaystyle \text<23>\).

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром \( \displaystyle \sqrt<239>\) верна формула.

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для \( \displaystyle a=2\)), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных \( \displaystyle a\).

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула объема для прямоугольного параллелепипеда.

Источник

Формула объема.

Формула объема необходима для вычисления параметров и характеристик геометрической фигуры.

Объемы геометрических фигур.

Параллелепипед.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Цилиндр.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Пирамида.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Правильная пирамида — это пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Тетраэдр — это пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Конус — это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2 )

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Призма.

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Сектор шара.

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Источник

Как найти объём геометрических фигур

Изучение объемных фигур начинается со школы. В это время происходит знакомство с цилиндром, параллелепипедом, шаром, конусом и другими геометрическими телами. Одна из главных задача, которая сопровождает учеников, это вычисление объема фигур. Оперируя формулами, удается произвести расчет и получить ответ в метрах кубических (м 3 ).

Чтобы вычислить объем, применяйте следующее правило – длину, ширину и высоту нужно перемножить между собой. Объем для каждой фигуры рассчитывается по специальной формуле, о которых, мы расскажем ниже.

Содержание:

Как найти объем трехмерных объектов

Начнем с расчета для прямоугольных и квадратных фигур. Придерживайтесь инструкции и постарайтесь рассчитать самостоятельно, чтобы закрепить знания. Числа, указанные в описании, берутся в качестве примера. Вы можете производить другие расчеты.

Полученное число необходимо перевести в кубические метры. Для этого конечный результат делим на 1.000.000. Пример будет выглядеть следующим образом – 4256 м 3 /1000000 = 0,004256 м 3

Как найти объем для фигур цилиндрической формы

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Цилиндр – это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Одним из видов цилиндра является призма.

Чтобы произвести вычисления нужно найти диаметр тела (ширина) одного круглого основания и полученное число поделить на 2. Допустим, диаметр основания равен 30 см.

Как рассчитать объем треугольной пирамиды

Пирамида – это многогранник, где есть одна грань основания и боковые грани. Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и другие. Также есть правильная и усеченная пирамида. Объем для каждой фигуры рассчитывается по разным формулам.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Расчёт четырехгранной пирамиды производится тем же принципом. Потренируйтесь, используя разные задачи. Чтобы все замеры происходили правильно, не забудьте обзавестись хорошей линейкой, также на помощь придёт калькулятор, который поможет перемножать числа между собой.

В интернете представлено много онлайн-калькулятор, они дают подсказку и позволяют без лишних трудностей рассчитать объём куба, цилиндра и других фигур. Перед началом пользования таких подсказок, необходимо обладать базовыми знаниями, чтобы быстрее разобраться в полученном результате.

Как посчитать объем куба

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Параллелепипед складывается из шести граней, которые являются параллелограммом. Все противоположные грани попарно равны и параллельны. Фигура получилась 4 диагонали, и все они пересекаются в одной точке, разделяют эту точку пополам. Параллелепипед, грани которого являются квадратами, будет называться кубом.

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, у которой все шесть граней прямоугольники. Для вычисления работает следующая формула:

Где H ‒ высота, S ‒ площадь основания, abc – ребра. Чтобы произвести расчеты и найти объём, необходимо узнать произведение площади основания на высоту. Например: 1 см * 2 см * 3 см = 6 см 3

Советы по измерению:

Убедитесь, что перед вами параллелепипед, а не куб, так как в случае с кубом расчетная формула будет проще.

Как найти объем цилиндра

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Цилиндр считать круглой фигурой, т.к. в его основании лежит круг. Чтобы произвести вычисления, необходимо узнать произведение площади основания на высоту. Для этого используется следующая формула:

Где r ‒ радиус цилиндра, h – высота цилиндра. Чисто π – является константой и равно 3,14. Оно всегда одинаковое и не требует никаких измерений. Рассмотрим на примере:

3,14 * 2 см 2 * 5 см = 62.831853071796 = 63см 3

Если вы не можете вычислить радиус, измерьте диаметр с помощью формулы преобразования.

Как найти объем пирамиды

фото 6 — посчитать объём

Чтобы произвести расчет объема, нам нужно найти произведение площади основания на высоту. Для вычисления используется следующая формула:

Где S (A*B*C*D*E) – площадь основания пирамиды, а h ‒ высота пирамиды. Рассмотрим на примере:

V = 3 * 2 = 2 см 3 ‒ это и будет являться объемом искомой геометрической фигуры.

Не забывайте, что пирамиды бывают усеченные, правильные, трех- и четырехугольные. Для каждого тела действуют свои расчеты, но важно начинать с основного и не упускать базовые знания, в дальнейшем все примеры будут базироваться именно на них.

Если какая-то формула осталась непонятной, лучше вернуться к этому и поупражняться ещё раз, доведя знание до автоматизма. Так решение задач не будет вызывать сложности. Постоянная практика ‒ это основа успешного результата.

Источник

Формулы вычисления объема всех геометрических фигур

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

Объем призмы

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем параллелепипеда

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем пирамиды

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем усеченной пирамиды

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем цилиндра

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Объем правильной треугольной пирамиды

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем конуса

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем усеченного конуса

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем тетраэдра

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем шара

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем шарового сегмента и сектора

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Формула объема шарового сегмента:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Формула объема шарового сектора:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем прямоугольного параллелепипеда

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Источник

Объемы геометрических тел

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф2) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф1), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем цилиндра

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем конуса

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

Как находить объем в математике. Смотреть фото Как находить объем в математике. Смотреть картинку Как находить объем в математике. Картинка про Как находить объем в математике. Фото Как находить объем в математике

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

ФигураФормулаЧертеж