Как находить область допустимых значений функции

Область допустимых значений

В школьном курсе алгебры есть всего пять элементарных функций, которые имеют ограниченную область определения. Вот они:

1. Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функцииОДЗ: Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

2. Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функцииОДЗ: Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.

3. Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функцииОДЗ: Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

4. Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции, Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функцииОДЗ: Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

5. Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функциии Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

6. Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функцииОДЗ: Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Таким образом, функции Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функциии Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функцииимеют разную область определения.

Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями.

Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в выражении функции, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения этих функций, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь».

Найти область определения функции:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Чтобы найти область определения функции, нужно найти область допустимых значений выражения, которое стоит в правой части уравнения функции

Я специально выбрала «страшную», на первый взгляд, функцию, чтобы показать вам, на какие простые операции разбивается процесс нахождения области допустимых значений.

«Просканируем» выражение, стоящее в правой части равенства:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Знаменатель дроби не равен нулю. Записываем:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

2. Мы видим в знаменателе логарифм:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции
Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

3.Мы видим квадратный корень:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Теперь запишем все ограничения в систему неравенств:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Решение этой системы неравенств посмотрите в ВИДЕУРОКЕ:

Источник

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.

Оценочный способ

Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:

Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:

Производная, min и max

Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:

Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:

В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

Как находить область допустимых значений функции. Смотреть фото Как находить область допустимых значений функции. Смотреть картинку Как находить область допустимых значений функции. Картинка про Как находить область допустимых значений функции. Фото Как находить область допустимых значений функции

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Источник

Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения

Допустимые и недопустимые значения переменных

Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».

Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Что такое ОДЗ

У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — \(\cup\) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.

Как найти ОДЗ: примеры, решения

Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.

Общие принципы нахождения области допустимых значений

Примеры нахождения ОДЗ

Пример №1. Найти область определения функции \(y=\sqrt<1-x^2>\)

Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2\geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: \(1-x^2\geq0\Rightarrow1\geq x^2\Rightarrow x^2\leq1\)

Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:

Раскроем модуль согласно правилу:

Пример №2. Найти ОДЗ функции \(y=\lg\left(x\right)\)

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований

Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.

Функции, для которых важна ОДЗ

Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная \(y=k\cdot x+b\) или квадратичная \(y=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.

ОДЗ обратной зависимости

Функция обратной пропорциональности \(y=\frac kx\) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: \(x\in(-\infty;\;0)\cup(0;\;+\infty).\)

ОДЗ степенной функции

Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:

ОДЗ показательной функции

Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:

ОДЗ логарифмической функции

Логарифмическая функция \(y=\log_a\left(x\right)\) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: \(x\in(0;\;+\infty).\)

ОДЗ тригонометрических функций

Источник

ОДЗ. Область допустимых значений (ЕГЭ 2022)

ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Например, если перед тобой уравнение \( \displaystyle \sqrt=y\), то ни \( \displaystyle x\), ни \( \displaystyle y\) не могут быть отрицательными:

Часто в задачах бывает очень важно учесть ОДЗ и «вычеркнуть» те решения, которые на самом деле решениями не являются.

Иначе ты сделаешь глупую, очень глупую ошибку и не получишь то, что заслужил на ЕГЭ!

Читай эту статью и ты будешь знать об ОДЗ все!

ОДЗ — коротко о главном

ОДЗ – это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Функции, для которых важна ОДЗ:

ОДЗ (Область допустимых значений) — подробнее

Давай разберем пример, наглядно показывающий, что такое ОДЗ:

Решим уравнение \( \displaystyle \sqrt<2x+3>=x\).

Все очень просто, если ты уже освоил тему «Иррациональные уравнения».

Возводим левую и правую части уравнения в квадрат:

Теперь решаем квадратное уравнение. Я воспользуюсь теоремой Виета (если забыл, что это такое, – посмотри тему «Квадратные уравнения»).

Вроде все? А давай-ка теперь сделаем проверку – подставим полученные значения в начальное уравнение:

\( \displaystyle x=3:\text< >\sqrt<2\cdot 3+3>=3\text< >\Leftrightarrow \text< >\sqrt<9>=3\) – все верно.

Да потому, что мы не учли ОДЗ!

По определению квадратный корень из любого числа не может быть отрицательным.

Значит, глядя на уравнение \( \displaystyle \sqrt<2x+3>=x\) мы должны сразу же написать:

Если помнишь тему «Иррациональные уравнения», ты сразу скажешь, что второе условие в этой системе писать необязательно. И правда, мы ведь потом возведем все в квадрат, и получится, что \( \displaystyle 2x+3=<^<2>>\), а значит – автоматически неотрицательно.

Итак, с помощью этих рассуждений приходим к такой области допустимых значений:

\( \displaystyle x\ge 0\).

Тогда сразу становится ясно, что корень \( \displaystyle x=-1\) не подходит. И остается единственный ответ \( \displaystyle x=3\).

Всего мы изучаем несколько разных функций, для которых важна ОДЗ. Вот они со своими ОДЗ в удобной табличке.

Источник

Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Решение

Решение

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Рассмотрим на примере.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *