Как находить полный дифференциал функции

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции. Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную

Применяя свойства предела функции, получают равенство

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник

Как найти полный дифференциал функции?

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.

Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную не равную нулю.

Применяя свойства предела функции, получают равенство.

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)). Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x.

Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d2y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически:

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых. Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида:

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней. Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению:

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

Решая два последних равенства, можем записать:

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

Так как, получим, что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

, где — пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:

, где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте ).

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Источник

Примеры Дифференциал функции двух переменных

Найдем частные производные первого порядка:

Тогда дифференциал первого порядка равен:

Найдем частные производные второго порядка:

Тогда дифференциал второго порядка равен:

Ответ: , .

Источник

Полное приращение и полный дифференциал

Вы будете перенаправлены на Автор24

Записать полное приращение заданной функции

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

\[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Готовые работы на аналогичную тему

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:

Записать полное приращение заданной функции

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

\[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

\[dz=f’_ (x,y)\cdot \Delta x+f’_ (x,y)\cdot \Delta y.\]

Записать полный дифференциал заданной функции

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=1\cdot \Delta x+2\cdot \Delta y=\Delta x+2\cdot \Delta y.\]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=y\cdot \Delta x+x\cdot \Delta y.\]

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

\[dw=f’_ (x,y,z)\cdot \Delta x+f’_ (x,y,z)\cdot \Delta y+f’_ (x,y,z)\cdot \Delta z,\] \[dw=f’_ (x,y,z. t)\cdot \Delta x+f’_ (x,y,z. t)\cdot \Delta y+. +f’_(x,y,z. t)\cdot \Delta t.\]

Записать полный дифференциал заданной функции

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=z\cdot \Delta x+z\cdot \Delta y+(x+y)\cdot \Delta z.\]

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:

Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.

Записать полный дифференциал заданной функции

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=z\cdot dx+0\cdot dy+x\cdot dz=z\cdot dx+x\cdot dz.\]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

\[dz=y\cdot dx+x\cdot dy.\]

Запишем полный дифференциал в заданной точке:

\[dz|_ <(1,2)>=2\cdot dx+1\cdot dy=2dx+dy.\]

Источник

Что такое дифференциал функции?

Понятие дифференциала функции связано с такими важными математическими разделами как дифференциальное и интегральное исчисление и тесно связано с понятием производной функции. Наиболее часто дифференциал применяется для приближенных вычислений, а также для оценки погрешностей формул и измерений.

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Говоря о значении дифференциала функции, рассматривают конкретную точку функции и бесконечно малое изменение аргумента.

История открытия дифференциала

Чаще всего открытие дифференциально-интегрального исчисления принято связывать с именем Исаака Ньютона, однако, этот факт активно оспаривают учёные со всего света.

Действительно, открытие целого нового направления в науке, столь значимого для её развития, было бы ошибочно считать заслугой только одного учёного. Изначально интегрирование связывали с вычислением площадей и объёмов криволинейных фигур. Такие задачи, как известно, решались ещё во времена Архимеда, поэтому его имя также имеет отношение к открытию дифференциального исчисления.

Также дифференцирование имеет отношение к решению задач на проведение касательных к различным кривым. Данное направление активно развивали греческие математики. В те времена математики столкнулись с трудностью, которую не смогли решить в дальнейшем и представители Нового времени.

Дело в том, что для определения направления прямой требовалось знать координаты как минимум двух точек, а касательная имеет лишь одну точку соприкосновения с кривой. Этот факт натолкнул учёных на мысль о том, что в одной точке кривая может иметь несколько касательных. В то время ученые пришли к выводу, что прямая состоит не из точек, а из отрезков минимальной длины. Таким образом, они считали направление касательной в некоторой точке совпадающим с направлением атомарного отрезка в данной точке.

В дальнейшем учёные Нового времени опровергли данную теорию. В этот период огромный вклад в развитие науки внёс Исаак Ньютон. Ученый сформулировал определения и принципы решения производных, а также основы дифференциального исчисления, которых придерживаются учёные и в наши дни.

Дифференциальное исчисление широко применяется в математике и других науках для решения различных задач.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала заключается в следующем: дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к графику функции, которая проведена через некоторую точку с координатами (x,y) при изменении координаты x на величину Δх=dx.

Дифференциал является главной линейной частью функции относительно приращения аргумента. Чем меньше приращение функции, тем большая доля приращения приходится на эту линейную часть.

Таким образом, при бесконечно малом Δх, приращение функции можно считать равным ее дифференциалу. Это свойство дифференциала позволяет использовать его для приблизительных вычислений и оценки погрешностей измерений.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Поскольку дифференциал функции является частью ее приращения, то при бесконечно малом приращении аргумента он приблизительно равен приращению функции. При этом чем меньше приращение аргумента, тем точнее значение функции. Этот факт даёт возможность использования дифференциалов для приближённых вычислений.

С помощью таких вычислений можно решать различные виды задач. Приближённые вычисления практически всегда связаны с наличием погрешности.

Использование дифференциала для оценки погрешностей

Результаты измерений в большинстве случаев содержат ошибку, обусловленную неточностью измерительных приборов.

Число, несколько превышающее или равное этой неточности, называется «предельной абсолютной погрешностью».

Отношение предельной погрешности к значению измеряемой величины называют «предельной относительной погрешностью».

Для оценки величины погрешностей измерений используют дифференциальное исчисление.

Источник