Как находить пропорции 6 класс
Прямая и обратная пропорциональность
Основные определения
Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.
Есть две разновидности пропорциональностей:
Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.
Прямо пропорциональные величины
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».
a и d называются крайними членами, b и c — средними.
Свойство прямо пропорциональной зависимости:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Примеры прямо пропорциональной зависимости:
Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.
Формула прямой пропорциональности
y = kx,
где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Пример 1.
В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Пример 2.
Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?
Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.
Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.
Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:
Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».
Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
Формула обратной пропорциональности
где y и x — это переменные величины,
k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
Потренируемся
Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
Составление и решение пропорций в математике
Пропорции — что это в математике
Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?
Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.
Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.
Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.
Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.
Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.
Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.
В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.
Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.
Пропорцией называют равенство двух отношений.
Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.
Можно ли составить из этих выражений пропорцию?
Найдем значения каждого из отношений:
Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.
Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.
Такое равенство называется пропорцией.
Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.
Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».
Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.
Числа b и c — средними членами пропорции.
Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.
Крайние члены пропорции — 42 и 7.
Средние члены пропорции — 6 и 49.
Средние члены пропорции — 5 и 35.
Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.
Основное свойство пропорции, правило
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:
Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.
Обратное утверждение тоже верно:
Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.
Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.
Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.
Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.
Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.
По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.
Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Составление и решение пропорций
Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.
Слово «относится» заменяем на знак деления.
Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.
Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.
Проверяем, верна ли пропорция.
Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.
Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:
Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Вывод: пропорция верна.
Примеры уравнений с решением для 6 класса
Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.
Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.
Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.
Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.
Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.
По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Записываем полученное выражение:
1 действие — умножение.
Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.
2 действие — деление.
Смешанное число переводим в неправильную дробь.
Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.
Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.
№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.
Найдите неизвестный член пропорции.
Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.
Пропорции
Пропорция — это равенство двух отношений.
Рассмотрим два равных отношения:
Соединив их знаком равенства, мы получим пропорцию.
В пропорции различают крайние и средние члены.
Основное свойство пропорции
Если пропорция составлена верно, то есть отношения, составляющие эту пропорцию действительно равны, то для пропорции верно следующее:
Правило выше и называется основным свойством пропорции.
Чтобы правильно применять правило, мы предлагаем вам запомнить правило (креста) « X ».
Рассмотрим его на примере пропорции.
Убедимся, что пропорция составлена верно.
Теперь запишем пропорцию и нарисуем карандашом поверх знака равенства крест.
Нарисовав крест, гораздо легче составить нужное произведение (выполнить основное свойство пропорции).
Урок 22 Бесплатно Пропорции
Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.
Попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.
Пропорция
В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.
Пропорции применяли с древности при решении различных задач.
Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.
Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.
В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.
В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.
В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.
В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.
Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.
Возьмем два отношения: \(\mathbf<\frac<36><9>>\) и \(\mathbf<\frac<12><3>>\) и эти отношения равны, так как \(\mathbf<36\div9=4>\) и \(\mathbf<12\div3=4>\), значит \(\mathbf<\frac<36><9>= \frac<12><3>>\)
Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: \(\mathbf
Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».
Все члены пропорции не равны нулю: \(\mathbf
Числа a и d называют крайними членами пропорции.
Числа b и c называют средними членами пропорции.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В мире существует «золотая пропорция», которую называют «золотым сечением». Это пропорциональное деление отрезка на различные по размеру части, но в таком соотношении к друг другу, что меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всей величине.
Приблизительное значение «золотого сечения» равно 1,618… Число это продолжается бесконечно после запятой, и оно не периодично.
В процентном выражении целая часть относится к большей, как большая к меньшей, примерно так: 62% и 38% соответственно.
Обозначают число «золотого сечения» математической буквой \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
Мир живой и неживой природы, мир творений человека полон красоты, симметрии и гармонии. Этот мир описывается законом «золотого сечения».
Рассмотрим только несколько примеров, где присутствует и используется правило «золотого сечения».
Считается, что длина фаланг пальцев и длина кисти руки, средний палец и мизинец, или высота лица и расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ у пропорционального человека находятся в определенных отношениях, соответствуя правилу «золотого сечения».
Форма тела ящериц, стрекоз, бабочек соответствует закону «золотого сечения»: отношение грудной и брюшной части тела приближенно равны значению «золотого сечения».
Спиралевидная форма ракушек тоже описывается числом \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
«Золотая пропорция» была обнаружена в египетских пирамидах, произведениях искусства, архитектуре и применяется до сих пор в разных областях жизни человека
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации