Как находить точки в плоскости

Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость.

Эта статья является ответом на два вопроса: «Что такое проекция точки на плоскость» и «Как найти координаты проекции точки на плоскость»? Сначала дана необходимая информация о проецировании и его видах. Далее приведено определение проекции точки на плоскость и дана графическая иллюстрация. После этого получен метод нахождения координат проекции точки на плоскость. В заключении разобраны решения примеров, в которых вычисляются координаты проекции заданной точки на заданную плоскость.

Навигация по странице.

Проецирование, виды проецирования – необходимая информация.

При изучении пространственных фигур удобно пользоваться их изображениями на чертеже. Чертеж пространственной фигуры представляет собой так называемую проекцию этой фигуры на плоскость. Процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости происходит по определенным правилам. Так вот процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости вместе с набором правил, по которым осуществляется этот процесс, называется проецированием фигуры на данную плоскость. Плоскость, в которой строится изображение, называют плоскостью проекции.

В зависимости от правил, по которым осуществляется проецирование, различают центральное и параллельное проецирование. Вдаваться в подробности не станем, так как это выходит за рамки этой статьи.

Следует отметить, что проекция фигуры на плоскость представляет собой совокупность проекций всех точек этой фигуры на плоскость проекции. Иными словами, чтобы получить проекцию некоторой фигуры необходимо уметь находить проекции точек этой фигуры на плоскость. В следующем пункте статьи как раз показано, как найти проекцию точки на плоскость.

Проекция точки на плоскость – определение и иллюстрация.

Еще раз подчеркнем, что мы будем говорить о перпендикулярной проекции точки на плоскость.

Выполним построения, которые помогут нам дать определение проекции точки на плоскость.

Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.

На приведенном ниже чертеже точка H₁ есть проекция точки М₁ на плоскость ; точка М₂ лежит в плоскости , поэтому М₂ – проекция самой точки М₂ на плоскость .

Нахождение координат проекции точки на плоскость – решения примеров.

Решение задачи логически следует из определения проекции точки на плоскость.

Рассмотрим решения примеров.

Найдите координаты проекции точки на плоскость .

В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида , так что его составлять не нужно.

Чтобы получить требуемые координаты проекции точки на плоскость, осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений прямой переходим к уравнениям двух пересекающихся плоскостей , составляем систему уравнений и находим ее решение. Используем метод Крамера:

Таким образом, проекция точки на плоскость имеет координаты .

.

Напишем сначала уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

Дальше для нахождения координат проекции точки М₁ на плоскость АВС можно действовать как в предыдущем примере.

Но давайте рассмотрим альтернативный подход.

Осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого в уравнение плоскости подставим :
.

Таким образом, проекция точки М₁ на плоскость АВС имеет координаты .

.

В заключении давайте обсудим нахождение координат проекции некоторой точки на координатные плоскости и плоскости, параллельные координатным плоскостям.

Покажем, как были получены эти результаты.

Для примера найдем проекцию точки на плоскость (остальные случаи аналогичны этому).

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого сначала подставляем в уравнение равенства : . Теперь вычисляем искомые координаты по параметрическим уравнениям прямой при :

Таким образом, проекцией точки на плоскость является точка с координатами , что и требовалось показать.

Найдите координаты проекций точки на координатную плоскость Oxy и на плоскость .

Координатной плоскости Oxy соответствует неполное общее уравнение плоскости вида , и проекция точки на плоскость имеет координаты .

Уравнение плоскости вида можно переписать как . Теперь легко записать координаты проекции точки на плоскость : .

и .

Источник

Точка и прямая в плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если:

Пример. Плоскость Q задана треугольником АВС (рис. 5).

Необходимо построить горизонтальную проекцию точки K(k) и фронтальную проекцию точки N(n’), если они принадлежат плоскости Q.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости. Проведем через точку К прямую А1. по­строим фронтальную проекцию этой прямой (а’1′). Проведя через точку k’ линию связи, найдем горизонтальную проекцию точки К — точку k (рис. 6).

Фронтальная проекция точки N(точка n’) найдена с помощью пря­мой В2 (рис. 6).

Положение плоскости в пространстве

Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям про­екций, называются плоскостями частного положения. Они делятся на две группы.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей плоскостью.

Плоскость, параллельную плоскости проекций, называют плоско­стью уровня.

Проецирующие плоскости

Если плоскость перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в линию. Эту проекцию можно рассматри­вать и как след плоскости. На эту же плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Проецирующие плоскости обладают собирательным свойством: если точка, линия или фигура расположены в плоскости, перпендику­лярной плоскости проекций, то на этой плоскости их проекции совпада­ют со следом проецирующей плоскости.

Плоскости уровня

Если фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину. Проекции фигуры на две другие плоскости проекций параллельны осям, определяющим данную плоскость проекций.

Главные линии плоскости

Прямых, принадлежащих плоскости, очень много. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. Эти линии называются главными линиями плоскости.

Горизонталь — прямая, лежащая в плоскости и параллельная гори­зонтальной плоскости проекций (рис. 11). Фронтальная проекция гори­зонтали параллельна оси х, профильная — оси у.

Фронталь — прямая, лежащая в плоскости и параллельная фрон­тальной плоскости проекций (рис. 12). Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х, профильная — оси z.

Профильная прямая — прямая, лежащая в плоскости и параллель­ная профильной плоскости проекций. Горизонтальная проекция про­фильной прямой параллельна оси у, фронтальная — оси z (рис. 13).

Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций чаще всего интерес представляет линия наибольшего наклона к горизонталь­ной плоскости. Эту линию называют линией ската.

Линия ската — это прямая, лежащая в плоскости и перпендику­лярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали.

Проведем плоскость Р перпендикулярно плоскости Q и Н. Плос­кость Р пересекает плоскость Q по линии ската MN (рис. 14).

Построив эту линию наибольшего наклона, можно определить ве­личину двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью про­екций. Этот угол будет равен линейному углу, который составляет линия наибольшего наклона со своей проекцией на эту плоскость (рис. 15).

Источник

Проецирование точки в начертательной геометрии с примерами

Проецирование точки на две и три плоскости проекций:

Если из точки А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций

Они характеризуются координатами, которые численно равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы.

Так, для точки А:

Плоскость прямоугольника , перпендикулярна к: оси x, а линии пересечений плоскостей и плоскости являются прямыми и , перпендикулярными к оси х.

Изображение точки и её проекций на рис.3.1 является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики.

Рис. 2.4 Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость , вокруг оси х и совмещают её с плоскостью (рис. 3.1), получая таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа)

Проекции и оказываются на одной линии, которая называется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2). При проецировании точки А на три плоскости проекций от плоскости она отстоит на расстоянии (рис. 3.3). При этом, аналогично вышесказанному:

Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости и совмещаются с плоскостью путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция точки А находится на пересечении линий связи и (расстояние ).

Это не означает, что модули этих величин обязательно равны между собой, т.е. (в частном случае это равенство Ах Ау может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4).

Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства

Точка, например А, принадлежит:

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций

Точка А принадлежит:

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают.

Так, точка А лежит на оси х, если совпадает с ; на оси у, если совпадает с , и оси z, если совпадает с .

Правила знаков координат проекции точки

При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0).

Таблица 3.1

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Черчение. 10 класс

§ 16. Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах.

Проецирование точек на поверхности цилиндра

Последовательность проецирования точек
Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках).

1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью.

2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта.

Проецирование точек на поверхности призмы

Последовательность проецирования точек
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы.

1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы).

2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ I.

1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″.
2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′.
3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′.
4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Способ II.

1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″.
2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′.
3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром.
4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′.
5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?

Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами.

Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А.
В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Источник