Как находится площадь равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):
2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):
Площадь равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.
I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Как и для случая произвольной трапеции, площадь равнобедренной трапеции ABCD, AD∥BC, AB=CD,
Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид
II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.
Это верно, в частности, для равнобедренной трапеции.
Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна
III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.
Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.
Для равнобедренной трапеции ABCD
VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.
1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:
2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.
В равнобедренной трапеции ABCD
AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.
Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе
Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:
V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.
Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то
AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.
Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то
Также площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.
Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае
Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований: