Как находится площадь треугольника 4 класс
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Площадь треугольника
У геометрической фигуры — треугольника — 3 стороны и 3 вершины. Треугольник получается, если три точки, которые не лежат на одной прямой, соединить отрезками.
Для названия треугольника используются большие латинские буквы, при этом соблюдается последовательность вершин, но начинать название можно с любой вершины.
Иногда используют знак Δ. 
В зависимости от величин углов треугольника выделяют:
Площадь треугольника
Прямоугольный треугольник легко представить как половину прямоугольника. 
Если площадь прямоугольника равна произведению длин сторон, то для определения площади треугольника необходимо это произведение разделить на 2.
Допустим, RP = a, TP = b;
SRPT=(ab)/2.
Если треугольник не имеет прямого угла, можно построить два прямоугольника, как показано на рисунке. 
Допустим, MA=BD=NC = h, AC = a.
SABC=SABD+SCBD=h⋅AD/2+h⋅DC/2=h⋅AC/2=h⋅a/2.
Как видно, достаточно в треугольнике от одной вершины провести отрезок под прямым углом к противолежащей стороне и использовать длины отрезка для определения площади треугольника.
Отрезок называют высотой треугольника. 
Свойства треугольника
Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 3 см, 7 см, 4 см?
Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 16 см, 32 см, 18 см?
Пример. Одна сторона, которая образует прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 4 см, другая сторона, которая образует прямой угол, в 2 раза меньше. Определи площадь треугольника.
Одна сторона, которая образует прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 12 см, другая сторона, которая образует прямой угол, в 3 раза меньше.
Определи площадь треугольника.
Поэтому площадь можно рассчитать следующим образом:
Известно, что периметр равностороннего треугольника — 21 см. Определи периметр данного четырёхугольника, который состоит из равносторонних треугольников.
Значит, одна сторона треугольника равна 7 см.
Периметр данного четырёхугольника состоит из 4 таких сторон, значит, равен 28 см.
Дан равносторонний треугольник. 2 раза сделано следующее:
1. на всех сторонах отмечены и соединены серединные точки.
2. На сторонах внутреннего треугольника опять отмечены и соединены серединные точки.
Треугольник, который образовался на этот раз, закрашен розовым цветом. 
1. Сколько маленьких треугольников необходимо для перекрытия данного треугольника?
2. Чему равна площадь большого треугольника, если площадь розового треугольника равна 4 м²?
3. Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 4 раза?
Если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 4 раза, то общее число маленьких треугольников будет равняться 256.
4. Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 3 раза?
Если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 3 раза, то общее число маленьких треугольников будет равняться 64.
Определи площадь данных фигур, если площадь одной клетки равна 6 см2.
1) 
Сколько клеток образует площадь фигуры? Чему равна площадь фигуры?
Сколько клеток образует площадь фигуры? Чему равна площадь фигуры?
Подумай, как построены данные фигуры, и определи, сколько клеток будет у следующих двух фигур, если их построить по той же закономерности.
Ход урока
I этап: Самоопределение к деятельности.
— У нас сегодня большое количество гостей, поздороваемся с ними. (Дети здороваются и садятся).
— Как думаете, какое количество гостей присутствует на нашем уроке? (Дети не считая отвечают и дают примерный результат).
— 1/6 часть всего кол-ва, это учителя нашей школы. Сколько их?
— Что мы сейчас делали? (Считали гостей).
— Всегда ли ваши ответы были точными? (Нет).
— По какой причине? (Не было времени считать, сделали прикидку, на глаз оценили).
— Используем ли мы данный прием на уроках? (Да).
— В каких ситуациях? (Нехватка времени, нет иного способа действия).
— Но математика наука точная, еще древний философ Платон говорил: «Математика приближает разум к истине». А значит ответы все же должны быть верными.
— А вот современное высказывание гласит: «Математику изучить нельзя…».
— Вы согласны с этим утверждением? (Нет, тогда что мы на уроках делаем?)
II этап: Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
— Но и не все оставшиеся слова будут иметь отношение к сегодняшнему уроку математики. Определить круг ключевых слов урока нам поможет арифметический диктант.
Арифметический диктант: (1 за доской, остальные работают в тетради)
— третья часть 18 6, 15, 7, 70, 24
— 1/6 часть числа это 4, найди все число
(Проверка числового ряда, на экране исчезают лишние слова и числа).
— Что объединяет оставшиеся числа? (Целые, натуральные).
— На какие две группы можно разбить? (Дети предлагают варианты).
— А вот оставшиеся слова объединены темой сегодняшнего урока. Чтобы нам ее сформулировать как можно точнее, давайте вспомним основные математические понятия и поиграем в математическое лото.
(Детям предлагаются карточки двух цветов, вопросы и ответы).
Основанием треугольника называется
Сторона, на которую опущен перпендикуляр
Сторона треугольника, лежащая против прямого угла называется…
Это место, которое фигура занимает на плоскости
Это равенство, устанавливающее взаимосвязь между величинами
Тупоугольным называется треугольник, у которого
Один из углов тупой
Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются
Перпендикулярные линии это
Линии, которые при пересечении образуют прямой угол
Перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону
Остроугольным называют треугольник
У которого все углы острые
В зависимости от длины сторон треугольники бывают
Равносторонние, разносторонние, равнобедренные
Прямоугольным называют треугольник, у которого
Один из углов прямой
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо
Длину умножить на ширину
Предлагаю поиграть еще в одну игру, которую придумали китайцы, всегда слывшие хорошими математиками. Она называется «Танграм».
Суть ее состоит в собирании фигур из более мелких геометрических фигур. Работать будем в парах. Откройте конверт №1 и выложите все фигуры перед собой. Перечислите все, что перед вами. (4 маленьких и 2 больших прямоугольных треугольника разного цвета).
— Соберите из всех фигур:
1 ряд – квадрат
2 ряд – прямоугольник
3 ряд – треугольник
(Практическая работа в парах, проверка построений с помощью компьютера).
— Что объединяет все получившиеся фигуры? (Многоугольники, состоят из равного кол-ва фигур).
— Сравните их по площади. (Равные, т.к. состоят из одинаковых частей).
— Как называются такие фигуры? (Равновеликие).
— Можете ли вы утверждать, что данные фигуры также равновеликие? (нет, другая ситуация, иной значит способ действия).
— Используете знания свои и сравните фигуры по площади).
(Дети без труда по формуле находят S квадрата и прямоугольника, но возникает проблема при работе с треугольником).
III этап: Постановка проблемы, формулирование темы урока.
— Почему возникло затруднение? (Не знаем как найти S треугольника, можем только найти неточный результат).
— Значит какова цель сегодняшнего урока? ( научиться находить S треугольника).
— На основе поставленной цели и ключевых слов урока, попробуйте как можно точнее сформулировать тему сегодняшнего урока.
(S прямоугольного треугольника).
IV этап: Проектирование и фиксация нового знания.
Расскажите все о треугольнике, который перед вами. (Прямоугольный, разносторонний).
— В группах попробуйте найти способ нахождения S прямоугольного треугольника, создать формулу и прокомментировать свои действия.
(Результаты вывешиваются на доску, в громкой речи проговаривается способ действия).
— Что такое стороны а и в? (Катеты).
— Сформулируйте свои выводы в знаковой и словесной форме.
— Сверим свою формулировку с предложенной в учебнике (стр. 95).
— Площадь какого треугольника мы находили? (Прямоугольного).
— А для других треугольников эта формула будет верна? (Нет, т.к. нет катетов).
— Тогда давайте составим алгоритм наших действий.
Алгоритм.
V этап: Первичное закрепление во внешней речи.
Выполняется в парах задание из учебника (стр. 95 № 5).
VI этап: Самостоятельная работа с самопроверкой.
— Сравните фигуры по площади.
(Появляются в тетрадях записи:
S = ( 4 * 3 ): 2 = 6 кв.см
S = ( 2 * 6 ): 2 = 6 кв.см
S = S
VII этап: Включение в систему знаний и повторение.
— Вернемся к заданию, вызвавшему затруднение. Выполните расчеты в тетради и сравните площади данных фигур.
S = 2 * 2 = 4 кв.см
S = 1 * 3 = 3 кв.см
S = (3 * 2 ) : 2 = 3 кв.см
— Что можете сказать о S прямоугольника и треугольника? (Она одинаковая, значит фигуры равновеликие).
Что вы можете сказать о данном треугольнике?
— Можем ли мы воспользоваться нашим алгоритмом для нахождения его площади?
(Нет, т.к. должен быть треугольник прямоугольным).
— А нельзя ли с помощью построений сделать из данного треугольника два прямоугольных?
(Можно, надо провести высоту).
Чему будет равна площадь всего треугольника?
(Сумме S двух прямоугольных треугольников, их S мы умеем находить).
— Давайте дополним алгоритм.
Алгоритм.
VII этап: Рефлексия деятельности.
— Какова была цель урока?
— Удалось ли нам ее выполнить?
— А теперь узнаем окончание фразы «Математику нельзя изучить, наблюдая как это делает сосед».
— Вы согласны с этим утверждением. (да, на уроке мы делали все сами, а не только наблюдали)
— Что на уроке было главным, а что интересным?
Д/З : (На выбор). – Найди S фигур и сравни фигуры по S.
(Задание в конвертах, на основе демонстрации дети выбирают нужное для себя, определив уровень понимания темы на данном этапе и берут задание из конверта)
Площади фигур. Площадь треугольника.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Треугольник образуется соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. Точки
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади треугольника.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Ниже приведены основные формулы, по которым можно найти площадь треугольника:
1. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину
проведенной к этой стороне высоты.
2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.
3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между
4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Площадь
треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Урок математики «Площадь равностороннего треугольника». 4-й класс
Класс: 4
Цель и задачи урока:
— научить находить площадь равностороннего треугольника,
— вывести формулу нахождения площади треугольника,
— закрепить умение находить периметр равностороннего треугольника,
— развивать наглядно-образное мышление.
Оборудование: у каждого ученика геоконт, равносторонний треугольник – сторона равна 10 см, таблица с кроссвордом.
I. Организационный момент
Вспомним всё, что мы учили,
Ничего ведь не забыли?
Рисуем, чертим, вычисляем
Геометрию мы знаем.
II. Актуализация темы
— Если две точки соединить прямой линией, то получится. (Отрезок)
— Как называется сумма длин сторон многоугольника? (Периметр)
От треугольника вершину,
Отрезав ножницами вмиг,
Увидим новую фигуру
И назовём её. (Трапеция)
— Что получится, если из одной точки провести два луча. (Угол)
— Какую геометрическую фигуру ограничивает окружность. (Круг)
— Как называется большая сторона прямоугольника? (Длина)
Сговорились две ноги
Делать дуги и круги. (Циркуль)
— Это колпачок клоуна,
Закрытый крышкой. Я воронка. Кто я? (Конус)
— Как называется точка, из которой выходят два луча и образуют угол? (Вершина)
Не овал я и не круг
Треугольнику не друг.
Прямоугольнику я брат,
А зовут меня. (Квадрат)
Прочитайте по выделенным буквам название фигуры, знания о которой мы сегодня будем углублять.
— Расскажите всё, что вы знаете о треугольниках.
— На какие группы можно разделить треугольники?
— Как вы думаете, может ли быть прямоугольный треугольник равнобедренным?
Упражнение для глаз. Найдите треугольники в классе.
(Учитель заранее расположила на стенах класса фигуры треугольников)
IV. Практическая работа.
а) прямоугольный равносторонний треугольник;
б) тупоугольный равносторонний треугольник;
в) остроугольный равносторонний треугольник.
Вывод: в результате практической работы выявлено, что существует только равносторонний остроугольный треугольник.
Учитель поднимает круги красного, зеленого и желтого цвета, а ученики делают соответствующие движения. Красный – стоять, желтый – руки вверх, зеленый – прыжки.
V. Вспомним алгоритм построения равностороннего треугольника.
Проведи две дуги равные отрезку.
Точку пересечения соедини с концами отрезка.
— Как называется нижняя сторона треугольника? (Основание)
— Как построить высоту в треугольнике?
Найдите периметр равностороннего треугольника.
А как найти площадь треугольника?
Это мы узнаем путём поисковой деятельности.
Возьмём треугольник. Измерьте его стороны. Как он называется?
Проведём в нём высоту.
Разрежьте треугольник по высоте.
Что у вас получилось?
Какие это треугольники? (Прямоугольные)
Составьте из них прямоугольник.
Вспомните, как мы умеем находить площадь прямоугольника?
Площадь прямоугольника
Надо узнать?
Длину на ширину
Поспеши умножать.
Измерь стороны прямоугольника? 9 см, 5 см. S = 9 X 5 = 45 (cм 2 )
Как получили 9 см? (В треугольнике опустили высоту)
Как получили 5 см? (Высота разделила основание на две равные части)
Подумайте, как записать площадь треугольника.
Вывод: основание нашего прямоугольника равно половине основания равностороннего треугольника. А высота треугольника – это же и высота треугольника.
Значит, площадь равностороннего треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
2 клетки вправо вверх наискосок, 8 клеток вправо, 2 клетки вниз вправо наискосок, 2 клетки вниз влево наискосок, 8 клеток влево, 2 клетки вверх наискосок влево.
Проведи линии так, чтобы в середине получилось 3 квадрата.
2 крайние квадрата раздели на треугольники.
Сколько треугольников в фигуре?
Что интересного и нового мы узнали о треугольнике?
IX. Домашнее задание.
Выучить формулу площади треугольника, начертить треугольник и найти его площадь.