Как находится высота прямоугольного треугольника
Способы нахождения высоты треугольника: теорема и формула
Определение высоты треугольника
Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.
Треугольником является фигура, относящаяся к классу простых фигур, которая образована тремя точками, находящимися не на одной прямой, и соединенными между собой тремя отрезками.
Треугольники могут быть:
Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.
Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из угла треугольника вниз, на противоположную сторону.
В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.
В зависимости от типа треугольника высота может:
Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.
Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:
Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.
Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:
A × H A ÷ B × H B ÷ C × H C = 1 B C ÷ 1 A C ÷ 1 A B
Выглядеть графически это будет так:
Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.
Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:
где S — уже известная площадь треугольника,
Через длины всех сторон:
h = 2 p p × a p × b p × c a
где a, b и c — стороны треугольника,
p — его полупериметр.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через длину прилежащей стороны и синус угла:
s i n a — синус угла прилежащей стороны.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через стороны и радиус описанной окружности.
Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:
где b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота,
R — радиус описанной окружности.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:
где C 1 и С 2 — длины отрезков, образованных на гипотенузе, проведенной к ней высотой.
Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.
Нахождение высоты равнобедренного треугольника через основание и боковые стороны
Равнобедренным треугольником называют треугольник, имеющий одинаковые по длине катеты, которые образуют равные углы с основанием. В таком треугольнике высота будет опускаться ровно в середину основания, образуя с ним прямой угол.
Помимо высоты, проведенная линия будет являться также осью симметрии, биссектрисой вершинного угла и медианой.
Формула для нахождения высоты в этом случае:
b — равные боковые стороны.
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.
Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.
Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:
где а — сторона равностороннего треугольника.
Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:
а — сторона правильного равностороннего треугольника.
Нахождение высоты прямоугольного треугольника через его катеты
Прямоугольным считается треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90°. Высота, опущенная из такого угла, падает на гипотенузу треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника, которые пропорциональны по отношению к большому треугольнику и друг к другу.
Важно отметить, что две другие высоты будут совпадать с катетами треугольника.
Найти высоту в прямоугольном треугольнике, можно через два его катета (a и b) и гипотенузу (c).
Причем гипотенуза также легко находится через катеты по теореме Пифагора:
Расчет высоты идет следующим образом:
где a, b и c — вышеупомянутые стороны треугольника.
Общие сведения
Следует отметить, что в геометрии существуют элементы, используя которые можно строить простые и сложные фигуры. Простейшим из них считается точка. С ее помощью можно создать прямую, луч, отрезок и угол. Точкой называется базовый «кирпич» геометрии, позволяющий осуществлять построение других элементов математической науки.
Луч — разновидность прямой линии, имеющей только одну границу (точку). Из последней исходит прямая в бесконечность. Примером этой модели является Солнце, испускающее пучки световой энергии. Оно является источником света, который может проходить не только через Солнечную систему, но и уходить за ее пределы в бесконечность (космическое пространство). Луч обозначается также строчной литерой. Однако точку-источник следует обозначать прописной буквой.
Плоским углом называется элементарная фигура, состоящая из общей точки и двух лучей, исходящих из нее и не лежащих на одной прямой. Измеряется в градусах и радианах. Далее следует разобрать виды прямоугольных треугольников.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольным называется треугольник, имеющий угол, градусная мера которого эквивалентна 90. Он состоит из трех сторон, вершин и углов. К дополнительным параметрам можно отнести следующие:
Периметр — вспомогательная величина, характеризующая суммарное значение сторон фигуры. Существует также понятие полупериметра. Последним называется полусумма всех его сторон. Площадью называется характеристика треугольника, показывающая его размерность.
Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе — отрезок, опущенный перпендикулярно относительно этой стороны. Ее еще называют проекцией. Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны. Если она проведена из прямого угла, то эквивалентна половине гипотенузы. Биссектрисой является некоторая прямая, которая делит искомый угол на два равных значения.
Следует отметить, что этот тип треугольника бывает двух видов — разносторонний и равнобедренный. В последнем три последних параметра не совпадают (медиана, высота и биссектриса).
Следует рассмотреть свойства высоты в прямоугольном треугольнике равнобедренного типа. Она является медианой и биссектрисой. Далее следует обратить внимание на теорему, которая применяется для взаимосвязи сторон фигуры.
Теорема Пифагора
Для удобства треугольник следует обозначить символом «Δ». Связь между сторонами прямоугольного Δ была открыта древнегреческим ученым Пифагором. Утверждение имеет следующую формулировку: в произвольном прямоугольном Δ (со сторонами a, b и c) должно выполняться равенство между квадратом гипотенузы c и алгебраической суммой квадратов двух катетов a и b. Следует отметить, что при несоблюдении этого условия заданная фигура не содержит прямой угол. Математическая запись теоремы имеет такой вид: a^2 + b^2 = c^2.
Доказательств теоремы существует огромное количество, поскольку применяются различные подходы. Однако наибольшей популярностью пользуется способ, полученный из аксиом. Кроме того, дополнительно применяется алгебраическая методика. Для выполнения операции по доказательству соотношения a^2 + b^2 = c^2 необходимо построить прямоугольный Δ с такими сторонами: BC = a, AC = b и AB = c. После этого проводится высота к гипотенузе из вершины, которая является точкой пересечения двух катетов.
В результате образовались два равных угла ∠АНС и ∠ВНС. Кроме того, они являются прямыми по свойству высоты. Затем нужно рассмотреть Δ АВС и Δ АСН (Δ СВН), которые подобны по двум углам. На основании признака подобия можно вывести такие соотношения в виде пропорций:
Утверждение о высоте
Для прямоугольного Δ и высоты была выведена специальная теорема, позволяющая оптимизировать процесс вычисления основных его параметров. Ее формулировка имеет следующий вид: в прямоугольном ΔABC высота CE, опущенная на гипотенузу, делит ее по соотношению квадратов катетов к частям гипотенузы. Для доказательства нужно использовать такой алгоритм:
Теорема доказана. Существуют и другие утверждения о высоте в прямоугольном Δ. Их необходимо также рассмотреть, но без доказательств.
Тригонометрические функции
Полезными при решении различных задач считаются тригонометрические функции. Их всего четыре:
Математики выделяют 4 обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg и arcctg. Применяются они, когда получено одно из значений тригонометрической функции. На основании этого можно найти градусную меру угла. Расчет выполняется с использованием специальных таблиц (Брадиса) или при помощи онлайн-калькуляторов.
Другие соотношения
Формулы для нахождения длины высоты происходят от некоторых теорем. Их необходимо знать, поскольку это позволит существенно сэкономить время и избежать множества ошибок при вычислениях. Для этих целей необходимо начертить прямоугольный ΔABC, у которого ∠BAD = 90, а больший катет эквивалентен величине а. Основные теоремы о высоте, проведенной из прямого угла, имеют такие формулировки:
Следует отметить, что величину размерности можно найти из производных формул: S = (1/2) * c^2 * sin(∠CBA) * sin(∠BAC) = (1/2) * c^2 * sin(∠CBA) * cos(∠CBA) = (1/2) * c^2 * sin(∠BAC) * cos(∠BAC) = (1/2) * a^2 * tg(∠BAC) = (1/2) * a^2 * ctg(∠CBA).
Примеры решения задач
Для закрепления теоретических знаний специалисты рекомендуют решить несколько задач. Они делятся на простые и сложные. Первые решаются при помощи одной или нескольких элементарных операций. Таких примеров в интернете очень много. Однако попадаются и сложные варианты, которые позволяют использовать полученные знания на все 100%.
В интернете встречаются онлайн-приложения, позволяющие найти решение. Этот инструмент нужно использовать для проверки результата. Хотя многие им злоупотребляют, а затем не получают правильного результата. Для начала необходимо взять готовый решенный пример и ознакомиться с ним. Далее попытаться воспроизвести его на бумаге. Подсматривать в исходник нельзя. При помощи такого приема происходит формирование алгоритма решения в головном мозге.
Сложное задание
Условие задачи следующее: имеется ΔMNO (∠MNO = 90) с высотой NP и стороной NM = 3, а также с известным значением тригонометрической функции cos между большим катетом и гипотенузой (cos(∠NOM) = (35)^(1/2) / 6). Следует найти OP. Для этого необходимо следовать такому алгоритму:
На основании пятого пункта можно сделать вывод, что длина искомого отрезка равна 17,5 (ед). Если проанализировать решение упражнения, то станет понятно, что очень часто применяются соотношения на основе тригонометрических функций.
Уровень турбо
В некоторых источниках задачи повышенной сложности называют «для турбо». К ним принадлежат все типы, которые имеют минимальный объем известных данных. Пусть дан равнобедренный ΔSTU (∠STU = 90). Гипотенуза на 2 больше катета. Необходимо найти его высоту TV, проведенную из прямого угла. Решение следует выполнять по такой инструкции:
Следует отметить, что в скобках необходимо указывать единицу измерения. Если размерность последней не дана, то нужно указывать ее условно.
Таким образом, для решения сложных задач по геометрии следует знать формулу высоты в прямоугольном треугольнике. Это позволяет оптимизировать решение и не совершать ошибок при вычислениях.
Все формулы для треугольника
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
Формулы длины стороны (основания), (b ):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Высота прямоугольного треугольника
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле
или, в другой записи,
где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).
Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника
(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:
Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде
Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:
Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.
Из прямоугольного треугольника ABK
Из прямоугольного треугольника ACK
Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как
по теореме Пифагора
Если возвести в квадрат обе части равенства:
можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:
Прямоугольный треугольник (ЕГЭ 2022)
Ты, наверно, знаешь, что треугольники – очень полезная штука. А местами даже таинственная. Сегодня мы раскроем все «тайны» о прямоугольном треугольнике.
Ну, хотя бы те, что возникают в математике и пригодятся тебе на ЕГЭ 🙂
А хочешь научиться решать задачи? Мы прикрутим в этот пост вебинары с нашего курса подготовки к ЕГЭ. Обязательно посмотри их и ты сможешь решить любую задачу на эту тему.
Прямоугольный треугольник — коротко о главном
Прямоугольный треугольник –треугольник, у которого один из углов – прямой (= \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\)).
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \( <^<2>>+<^<2>>=<
^<2>>\).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике:
Высота прямоугольного треугольника
Медиана и описанная окружность
Вписанная окружность
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
Площадь прямоугольного треугольника: