Как научиться писать большие числа
Цифры, числа и числительные
Минускульные и маюскульные цифры
Тот внешний вид арабских цифр, к которому мы привыкли, имеющих рост прописных букв и стоящих на базовой линии шрифта, появился только в конце XVIII века. До этого были общеприняты цифры со свисающими элементами. Цифры первого типа называются «маюскульными» или «прописными» (по-английски — lining или titling), а второго — «минускульными», «строчными» или «старостильными» (по-английски — old-style, text, non-lining, lowercase, ranging, или hanging). Если в дореволюционной типографике минускульные цифры худо-бедно использовались в текстовом наборе, то в советской типографике их уделом остались редкая акциденция и редкие же титульные листы. Лично я впервые увидел минускульные цифры в текстовом наборе в 1991 году во «Властелине колец», набранном гарнитурой Гарамон.
Кстати, если в названии шрифта в конце стоят буквы «OSF», это означает, что шрифт имеет минускульные цифры (oldstyle figures) по умолчанию. «LF» обычно означает маюскульные цифры (lining figures).
Кроме того, различают моноширинные и пропорциональные цифры. Первые используются для табличного набора, а вторые — для текстового.
Различные виды цифр в шрифте Microsoft Constantia 
На картинке светло-серым обозначена кегельная площадка шрифта, а более тёмным — высота строчных знаков (x-height).
Внешний вид моноширинных и пропорциональных цифр в табличном наборе
Здесь можно видеть отличие внешнего вида маюскульных, минускульных, пропорциональных и моноширинных цифр в одном и том же шрифте. Ширина цифр, в зависимости от шрифта, может варьироваться как только засчёт апрошей, так и засчёт изменения ширины цифр.
Минускульные цифры хороши для текстового набора художественных или других неспециальных изданий, где в тексте цифры встречаются только изредка (в этом смысле упомянутый «Властелин колец» — хороший пример правильного использования минускульных цифр). Маюскульные цифры удобны для использования в таблицах, изданиях с большим количеством чисел в тексте (биржевая аналитика, финансовые отчёты, планы и так далее).
Различные рисунки цифр доступны только в некоторых шрифтах, да и то могут использоваться только программным обеспечением, поддерживающим технологию OpenType (например, на это способны дизайнерские пакеты от Adobe). Дело в том, что минускульные и маюскульные цифры не имеют различных кодов в Unicode, так как представляют просто разное начертание одних и тех же знаков. Поэтому поддержки Unicode для отображения различных рисунков цифр недостаточно.
Минускульные и маюскульные цифры в веб-типографике
К сожалению, браузеры пока неспособны выбирать рисунок цифр по требованию дизайнера. И даже текущий драфт CSS3 такой возможности не предполагает. Поэтому дизайнеру остаётся довольствоваться настройками шрифтов по умолчанию.
Из «стандартных» веб-типографических шрифтов минускульные (пропорциональные) цифры по умолчанию предлагает только шрифт Georgia. Все остальные — Impact, Lucida, Palatino, Tahoma, Times New Roman, Trebuchet и Verdana по умолчанию используют маюскульные моноширинные цифры. Особняком стоит удивительный Arial, который в обычном и в узком начертании имеет узкую единицу и все остальные цифры одинаковой ширины. Выходит, «ни нашим, ни вашим».
Стоит отдельно упомянуть действительно неплохие новые шрифты Microsoft, поставляющиеся с Windows Vista. Все они, Constantia, Corbel, Calibri, Cambria, Candara и Consolas имеют в своём составе как минускульные, так и маюскульные начертания цифр. Больше всего удивил моноширинный Consolas, конечно. По умолчанию маюскульные цифры стоят в Calibri, Cambria и Consolas, а минускульные — в Constantia, Corbel и Candara. Если Apple станет поставлять эти шрифты с системой (вдруг, когда-нибудь), то у веб-типографов появится хоть какой-то выбор в контексте рисунка цифр.
Целые числа и десятичные дроби
Не разбиваются пробелами числа, обозначающие год, номер (документов, например), марки машин и механизмов.
Простые дроби
Напомню, что простой (обыкновенной, арифметической) дробью называется число, составленное из целого числа долей единицы. Например, ½ или ¾. Тяжёлое машинописное наследие отражается и в компьютерном наборе простых дробей, которые обычно набирают обычными цифрами через косую черту: «1/2», «3/4».
Дробная часть числа не отбивается пробелом от целой части: 6½, 1¾.
Буквенные сокращения (тысяча, миллион, миллиард)
Диапазоны
Порядковые числительные и числительные в составе сложных слов
Чтение и запись натуральных чисел
Пройти тест по теме «Натуральные числа и действия над ними» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Для передачи на письме любого числа в понятном для всех виде, мы используем особые знаки, получившие название цифры.
Цифры – это особые знаки, которые мы используем для записи чисел.
Кроме самих знаков, нам понадобится система правил, которая описывает способ наименования и обозначения чисел. Она получила название система счисления или система записи чисел.
Система счисления – это набор правил, который описывает наименование и обозначение чисел на письме при помощи особых знаков: цифр.
Существует много систем счисления, но здесь мы будем рассматривать только ту, которую пользуемся каждый день.
Слово позиционная указывает на то, что значение, роль любой цифры, зависит от места ее расположения в числе.
Слово десятеричная означает, что любое натуральное число записывается на письме при помощи десяти особых символов, то есть, цифр, и их комбинаций:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Запись натурального числа – это его изображение на письме при помощи цифр и системы их записи.
Количество цифр, с помощью которых записано натуральное число, влияет на его название.
Число с тремя, четырьмя, пятью и более цифрами, соответственно, называется трехзначным, четырехзначным, пятизначным и т.д.
Таблица 1. Наибольшие и наименьшие натуральные однозначные и многозначные числа.
Цифра и число – это не одно и то же! Цифра – это всего лишь знак, при помощи которого мы можем записывать числа. Цифр всего лишь десять, а чисел – бесконечное множество. Число может быть записано при помощи цифр (182), и также при помощи слов (сто восемьдесят два).
Рассмотрим запись натурального числа более подробно.
В статье «Названия чисел до тысячи и более» подробно рассказано об устной нумерации чисел, поэтому здесь мы просто воспользуемся этими знаниями.
Запись натуральных чисел в десятеричной системе счисления
Для записи единиц, то есть, однозначного числа, в десятеричной системе счисления используются девять цифр:
нуль при этом означает отсутствие единиц в данной позиции.
Двухзначное число на записи обозначается при помощи приставления слева от цифры, обозначающей количество единиц в числе, соответствующей цифры, выражающей количество десятков единиц в данном числе.
Например, пятьдесят три, то есть, пять десятков и три единицы записывается на письме так: 53, а восемьдесят, то есть, восемь десятков и нуль единиц – 80.
Подобным образом формируется запись любого многозначного натурального числа. К примеру, шестьсот сорок два (шесть сотен, четыре десятка и две единицы) записывается как 642, а двенадцать тысяч пятьсот четыре (двенадцать тысяч, пять сотен, нуль десятков и четыре единицы) – как 12504.
Как вы видите, каждое место, на котором находится цифра, имеет свое особое значение, а именно:
Таблица 2. Значения цифр в зависимости от места в числе.
Таким образом, при записи натурального числа соблюдается следующее правило:
Если в любом числе взять произвольно две расположенные рядом цифры, то левая будет обозначать единицы, которые в десять раз больше, чем те, которые обозначает правая цифра.
Чтение натуральных чисел
Чтобы прочитать натуральное число любой длины, необходимо разбить его справа налево на группы из трех цифр (то есть, на классы), и назвать слева направо количество единиц каждого класса, прибавляя к ним название класса. При этом, не произносят название класса, не имеющего ни одной единицы.
Например, число 18.328.509.000.612 должно быть прочитано так: 18 триллионов 328 миллиардов 509 миллионов 612.
Название класса единиц также обычно не произносят.
Как преодолеть трудности, возникающие у детей при чтении и записи больших чисел
Для учителя не секрет, что запись и прочтение больших чисел вызывает затруднение у многих учеников начальной школы. Наталия ЛУКАНОВА делает попытку объяснить, почему традиционный подход к работе с многозначными числами не только не помогает детям в изучении темы, но и затрудняет процесс обучения, и предлагает способ качественного улучшения ситуации.
Традиционно предполагается, что научить детей читать и записывать многозначные числа, под которыми подразумеваются все числа, состоящие из 4 и более разрядов, помогают учебные пособия, названные «таблицами разрядов и классов». В этих таблицах в первой строке обычно записаны названия классов (класс единиц, класс тысяч, класс миллионов…); во второй строке – названия разрядов каждого класса (единицы, десятки, сотни); третья строка – место для записи числа (на демонстрационном пособии третья строка представлена в виде кармашков, в которые могут быть вставлены карточки с нужными цифрами или, при необходимости, – счетные палочки и пучки таких палочек). При работе с данным пособием особое внимание уделяется упражнениям в запоминании названий разрядов каждого класса числа, на что направлены задания типа: «Назови разряды по порядку, начиная с единиц и кончая сотнями тысяч»; «Прочитай первые три числа, записанные в таблице. Что означает каждая цифра в их записи?»; «Сколько единиц в классе тысяч в этом числе?» и т.д.
На наш взгляд, данное пособие не только не помогает детям в изучении темы, но и завуалирует суть той работы, которую необходимо освоить учащимся, чтобы научиться читать и записывать многозначные числа. Чтобы убедиться в этом, прежде всего необходимо понять, какая работа должна быть организована, так как только через работу самого ученика может быть обеспечено усвоение учебного материала.
Возникает вполне естественный вопрос: какую работу надо организовать, чтобы ученик усвоил материал?
Было установлено, что любые знания усваиваются человеком лишь в том случае, если обучаемый совершает адекватную работу, то есть совершает те же самые действия, которые выполняет человек, уже усвоивший материал. Это положение можно рассматривать как критерий оценки того, насколько правильно организуется усвоение материала.
Поскольку мы с вами уже относимся к категории людей, которые умеют читать многозначные числа, то, проанализировав механизм чтения какого-либо большого числа, мы вполне сможем вычленить сущность такой работы. С этой целью давайте попробуем прочитать, например, число 400056007. Человек, которому предложено прочитать число, прежде всего разделяет его запись справа налево на части по 3 цифры в каждой (эти части, как известно, называются классами). Число 400056007 разбивается на классы следующим образом: 400056007. Прежде чем начать чтение, мы мысленно присваиваем каждой группе свое название (справа налево – это классы: единиц, тысяч, миллионов…). После этого читается число, записанное в самом левом (старшем) классе, и добавляется название класса. Читая число 400 056 007, мы произносим сначала «четыреста миллионов», затем «пятьдесят шесть тысяч» и, наконец, «семь» (название класса единиц произносить не принято).
Обратите внимание на два существенных момента:
в учебниках по математике для начальных классов число 7 никогда не записывалось в виде 007. Значит, прежде чем приступать к чтению больших чисел, нужно научить детей читать числа, записанные в подобном виде;
читая число, мы ни разу не обратились к названиям разрядов, для нас не имел ровным счетом никакого значения тот факт, что цифра 5 записана в разряде десятков тысяч. Информация, которую мы не использовали при чтении, является лишней, и все упражнения в запоминании названий разрядов только отвлекают учащихся от той работы, которую им собственно требуется выполнить.
Что же на самом деле должны уметь делать ученики, чтобы научиться читать большие числа? Они должны предварительно освоить, во-первых, чтение чисел, записанных тремя знаками, а во-вторых, – названия классов и их последовательность.
Теперь рассмотрим, как можно оптимальным образом организовать деятельность детей на уроках с целью пропедевтики и непосредственно при изучении темы «Нумерация многозначных чисел». При этом мы будем опираться на положения теории, основы которой сформулированы П.Я. Гальпериным. Он установил, как организовать работу, адекватную подлежащему усвоению материалу.
Еще на этапе предварительной работы когда проверяется готовность учащихся к усвоению нового материала) мы можем предложить ученикам задания, нацеленные на то, чтобы ученик усвоил:
не имеет значения, сколько нолей стоит перед числом;
при чтении числа эти ноли не читаются.
Объясняя это ученикам, учитель сообщает, что любое однозначное число может быть записано двумя, тремя и т.д. цифрами, если стоящие перед ним цифры – ноли. Сразу же, как только это сказано, можно предложить детям выполнить задание: «Запиши число 5, используя три цифры». В классе наверняка найдется несколько учеников, которые уже с первого объяснения поймут, что именно требуется сделать. Но большинство детей может этого и не понять. Для них в записи на доске делаем подсказку:
Затем спрашиваем детей, что надо вписать на место пропусков. Один ребенок по вызову учителя выполняет задание у доски, заполняя пропуски нолями (005), а весь класс проверяет правильность выполнения задания.
В традиционной методике принято считать, что ответ одного ребенка уже является проверкой усвоения материала всем классом. Однако на самом деле, разумеется, это и есть лишь проверка усвоения материала одним конкретным ребенком. Большинство детей, особенно «слабые» учащиеся, воспринимают требование учителя проверить работу товарищей как формальное, в лучшем случае четверть класса так и не включается в работу, а просто списывает с доски требуемое. Чтобы организовать проверку выполнения заданий действительно всем классом, необходимо воспользоваться средствами обратной связи. Это могут быть, конечно, и традиционные «светофорчики» или какие-либо сигнальные жесты руками… Но «слабые» ученики зачастую склонны «подсматривать» за сигналами товарищей по классу. Им будет труднее увидеть, что показывают учителю впереди сидящие ученики, если средством обратной связи будет служить, например, линейка, на которой с одного конца наклеена красная полосочка – знак несогласия с ответом, а с другого конца на этой же стороне линейки – синяя (знак согласия с ответом).
Итак, сидящие в классе дети, проверяя ответ товарища, просигнализировали с помощью сигнальных линеечек свое согласие или несогласие. Если есть ученики, допустившие ошибки в работе, можно эти ошибки разобрать, ответив на вопросы и замечания учеников. Если задание выполнено верно и все согласны с ответом одноклассника, можно приступать к следующему этапу работы.
В традиционной методике принято считать, что понимание объяснения материала учителем – то же самое, что и усвоение его учениками. Практика показывает, что это далеко не так. Чтобы материал был освоен всеми учащимися класса, только объяснения недостаточно. И тем не менее возможно организовать соответствующую материалу работу таким образом, чтобы ее выполнение обеспечивало усвоение материала практически всеми учениками. Во-первых, надо не просто рассказать, то есть сообщить ученикам ту или иную информацию, но и фиксировать эту информацию так, чтобы дети могли сразу же воспользоваться ею, приступив к работе, ничего не заучивая. То есть большинству детей для организации их работы на начальном этапе требуются так называемые «опоры». В нашем случае роль такой опоры может выполнить запись на доске:
Когда класс выполняет следующее задание: «Запиши число 24, используя три цифры», «опора» дополняется еще одной важной записью:
Предлагаем детям выполнить еще пару упражнений вида: «Прочитай число: 00009 (варианты: 056, 000, 0021, 03)» и, наоборот, – «Запиши число 7 (можно: 10, 96, 4 и др.) тремя цифрами», проверяя правильность выполнения каждого задания каждым учеником с помощью сигнальных линеечек. Если кто-либо выполнил задание неверно, достаточно, объяснив ребенку, в чем именно допущена ошибка, попросить исправить ее. Теперь все готово, чтобы перейти собственно к обучению чтению больших чисел.
На первом этапе усвоения материала необходимо обеспечить его понимание, и мы этого добиваемся, когда объясняем детям, что именно и в какой последовательности им надо сделать. В рассматриваемой нами ситуации «на выходе», то есть в результате обучения, надо получить быстрое чтение больших чисел. Чтобы обеспечить это, необходимо вначале объяснить, как именно выполняют чтение больших чисел – об этом мы и говорили в начале статьи, рассматривая механизм чтения числа 400056007.
В качестве опоры необходимо использовать краткие, схематичные записи того, что является новым для учеников материалом. По существу, новых знаний в нашем случае – 2 вида:
1) знание самих названий классов и их последовательности;
2) умение этим знанием воспользоваться (то есть освоение последовательности чтения многозначных чисел).
Мы уже рассматривали пособие, которое обычно применяется при изучении темы «Нумерация многозначных чисел». На наш взгляд, если из него убрать строку названий разрядов, то оно как раз и будет фиксировать те знания, которые необходимо освоить детям, то есть названия классов.
В демонстрационном пособии, предлагаемом для работы по традиционной методике, были еще и кармашки для цифр или пучков палочек. Но в использовании счетных палочек уже нет никакой необходимости: принцип построения десятичной системы счисления должен был быть освоен учениками ранее. А значит, при работе с демонстрационным пособием достаточно использовать только карточки с цифрами. Еще легче просто нарисовать на доске таблицу, куда будут вписываться числа и образцы их чтения. В таблицу следует включить для удобства и быстроты фиксирования информации не только полные названия классов, но и их краткие записи (поскольку мы будем учить детей не просто читать числа, но фиксировать то, как это чтение происходит).
Итак, пособие, которое могло бы служить опорой для обучения чтению больших чисел для школьников на ориентировочном этапе, должно включать в себя:
полное название каждого класса числа и указание на сокращенный вариант записи названия каждого класса;
место для цифровой записи числа;
образец чтения числа.
И может выглядеть, например, следующим образом:
Но и этого недостаточно, поскольку пособие само по себе еще не указывает последовательность операций, а этому надо учить специально. Помощь в работе ученикам окажет алгоритм чтения больших чисел. Такой алгоритм может быть написан на доске или на плакате, но еще лучше – раздать его каждому ученику, чтобы в случае необходимости ребенок мог им воспользоваться и дома.
Покажем, например, как мы организуем работу учащихся при показе способа чтения числа 400056007, опираясь на алгоритм. Учитель, зачитав первый шаг алгоритма, показывает детям, как отделять цифры, делая запись на доске рядом с таблицей классов.
В классе единиц в таблице появляется запись:
Затем заполняем следующие классы таблицы (подсказывать, как это сделать, могут уже сами дети). Теперь запись в таблице приобретает следующий вид:
На доске появляется еще одна запись:
С помощью условного знака
фиксируем внимание учащихся на том, что название последнего класса не произносится:
Далее учитель осуществляет чтение числа, составляя запись соответствующего образца чтения в таблице:
Записи на доске, составленные вне таблицы, служат затем детям образцом составления вспомогательных записей в тетради, а записи в таблице – собственно образцом чтения чисел.
Как мы уже указывали, необходимо показать детям, как осуществляется чтение чисел в особых случаях. С этой целью детям предлагается прочитать еще одно число, например 3000085. Теперь уже можно предложить работать у доски одному из учащихся. Лучше вызвать хорошо читающего ребенка. После прочтения первого шага алгоритма все приступают к его реализации. (Качество выполнения заданий каждый раз контролируется всеми учениками класса с помощью сигнальных линеечек.) На доске возникает запись:
Учитель просит ученика записать это число в следующую строку таблицы:
Выполнив второй шаг алгоритма, учащиеся составляют в тетради записи, фиксируя краткие названия классов числа 3000085.
Организуя работу с третьим шагом алгоритма, можно предложить детям обвести в кружок названия тех классов, которые не произносятся. При чтении любого числа – это название класса единиц, в числе 3 000 085 название класса тысяч тоже не надо произносить. Итак, в данном случае в кружок обводятся названия классов тысяч и единиц:
Запись образца чтения в таблице будет выглядеть следующим образом:
Все это необходимо применять для удобства организации следующего – исполнительского этапа работы учащихся (или, как еще говорят, этапа подконтрольной работы). На этом этапе еще несколько заданий надо выполнить по шагам, строго проверяя правильность выполнения каждого шага каждым учеником. В данном случае работа может быть организована так же, как и в предыдущих случаях, с той только особенностью, что теперь к доске желательно вызывать и «слабых» учащихся. Классу предлагается прочитать, например, числа 32970091, 13004, 287000300, 400211.
Традиционная методика предполагает, что переход от объяснения учителя к самостоятельной работе осуществляется тем, что как только дети поняли смысл объяснения учителя, следует приступить к «решению номеров», то есть выполнению заданий из учебника. Теория Гальперина подразумевает организацию перехода к полностью самостоятельной работе. Суть этого процесса состоит в том, что ученики еще в 1–2 заданиях рассказывают, что и как нужно делать, чтобы прочитать число. Так как выслушать всех не представляется возможным, то на этом этапе нужно либо организовать работу учащихся парами, в которых ученики меняются ролями «учитель» и «ученик», либо предусмотреть выполнение заданий в рабочей тетради. Задания в рабочей тетради могут иметь, например, такой вид:
Следующим шагом организации деятельности учащихся будет этап самостоятельной работы учащихся. Здесь учитель предлагает детям уже не надписывать краткие названия классов над числом, но по-прежнему разбивать запись многозначного числа на группы по 3 цифры справа налево. Если чтение числа вызывает затруднения, всегда можно предложить учащемуся вернуться к предыдущему этапу (составить необходимые опорные записи, вспомнить последовательность названий классов, заглянув в таблицу и т.д.), но такая необходимость будет возникать у ребенка все реже и реже.
Программа обучения в начальных классах предполагает, что дети учатся не только читать, но и записывать большие числа. При этом ни в одном учебном пособии вам не встретится указаний на пособия, обучающие записи многозначных чисел. А ведь этот процесс отличается от механизма чтения чисел.
Давайте вновь обратимся к анализу нашей собственной (а значит, адекватной изучаемому материалу) деятельности. Что должен знать и уметь человек, которому нужно записать, например, число три миллиона восемьдесят пять? Записывающий число должен:
четко ориентироваться в последовательности классов «слева направо» (за классом миллионов неизбежно следует класс тысяч, а за ним, соответственно, единиц);
знать, что в записи любого класса (кроме первого слева) обязательно должно быть 3 цифры;
понимать, что если название какого-либо класса пропущено, то пропуск восполняется записью трех нулей;
уметь записывать однозначные и двузначные числа тремя знаками.
Чтобы выявить суть деятельности, адекватной записи многозначных чисел, попробуем записать все то же число – «четыреста миллионов пятьдесят шесть тысяч семь». Чтобы справиться с этим заданием, мы прежде всего записываем то число, которое слышим вначале, – четыреста, затем оцениваем, что за классом миллионов следует класс тысяч и он непустой, но в классе тысяч – двузначное число (пятьдесят шесть), следовательно, необходимо вписать сначала недостающий ноль, а значит, после 400 записывается 056, затем оцениваем, что за классом тысяч следует класс единиц и он тоже не пуст. Но в нем «звучит» однозначное число 7, значит, оно запишется в виде 007 (правее 056). Получаем запись числа – «четыреста миллионов пятьдесят шесть тысяч семь» – 400056007.
Если бы нам потребовалось записать число «три миллиона восемьдесят пять», то мы должны были бы предварительно оценить, что при его чтении мы не слышим названия класса тысяч, а значит, этот класс пуст, и мы заполняем его записью трех нолей (000).
Самые трудные операции в механизме записи больших чисел, требующие большого напряжения произвольного внимания, – оценка степени «заполненности» всех классов, включающая в себя еще и оценку количества цифр в записи каждого «звучащего» числа и вписывание в них при необходимости недостающих нолей. Выполнить эти операции будет значительно проще, если предложить в помощь ученикам таблицу, которая на начальном этапе послужила бы опорой, облегчающей выполнение отдельных операций:
При этом ребенку очень важно четко соблюдать нужную последовательность действий, а значит, ему опять нужно предложить в качестве опоры не только само наглядное пособие, но и алгоритм, подсказывающий, как можно воспользоваться данным пособием и в какой последовательности придется выполнять все действия в процессе записи многозначного числа.
Теперь необходимо научить детей работать по алгоритму чтения больших чисел:
Поскольку всегда самое трудное для детей, как уже упоминалось, – это частные случаи, то в образцах, которые предлагает учитель детям для разбора механизма записи больших чисел, должно быть обязательно включено, например, число 28 млн., где не упоминаются ни класс тысяч, ни класс единиц.
Шаги в организации усвоения этого материала должны быть точно такими же, как и при обучении чтению чисел.
На первом ориентировочном этапе задаются образцы записей и рассуждений в процессе работы по алгоритму:
На втором ориентировочном этапе организовывается пошаговое выполнение, дети еще вписывают краткие названия классов: 58 млн. 000 тыс. 016 ед. На этапе самостоятельной работы дети записывают числа, просто отделяя классы друг от друга.