Как научиться решать рациональные числа

Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения

Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.

Действие сложения рациональных чисел

Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5 + 1 4 возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.

Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a .

Сложение противоположных рациональных чисел

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Сложение положительных рациональных чисел

В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.

Решение

Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:

6 10 + 5 9 = 54 90 + 50 90 = 104 90 = 1 7 45

Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Решение

Сложение отрицательных рациональных чисел

Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.

Решение

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа​​​​​​

Действие вычитания рациональных чисел

При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.

Решение

Необходимо из рационального числа 2 7 вычесть рациональное число 5 3 7

Решение

Действие умножения рациональных чисел

Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.

Умножение на нуль

Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.

Умножение на единицу

Т.е. a · 1 = a или 1 · a = a (для любого рационального a ). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.

Умножение взаимообратных чисел

К примеру, результатом произведения чисел 5 6 и 6 5 будет единица.

Умножение положительных рациональных чисел

В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

Решение

Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

Решение

Перемножим десятичные дроби столбиком:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.

Решение

Умножение отрицательных рациональных чисел

Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

Перемножим их столбиком:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Полученный результат и будет являться искомым произведением.

Деление рациональных чисел

На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.

Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.

Решение

Источник

Рациональные числа

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаможет быть представлено в виде дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Значит смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаотносится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа, значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа, значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данное число располагается ровно между нулём и единицей

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Попробуем понять, почему дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числавдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа, которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числарасположилась именно там.

Дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаозначает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаумножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа, а эта дробь также как и Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаравна 0,5

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

А значит на координатной прямой дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаможно расположить там же, где и располагалась дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Значение дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаравно 1,5

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа, которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Значение дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаравно 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Видно, что наше рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числарасположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаэто есть 2 (две целых) и Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа(одна вторая). Дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числапо другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Значение дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаравно 2,5

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Видно, что наше рациональное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числарасположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Поэтому между выражениями Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаи Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаи Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаможно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числапротивоположным числом является Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаотносительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

Вычислим данное выражение:

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Выделим в этой дроби целую часть. Получим Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Чтобы вернуть изначальную дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числанужно перевести смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Мы получили дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа, а должны были получить дробь Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа.

Делаем вывод, что смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав неправильную дробь переведено неправильно:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Отрицательное смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаявляется противоположным для смешанного числа Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа. Если положительное смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числарасполагается в правой части и выглядит так

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

то отрицательное смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числабудет располагаться в левой части симметрично Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаотносительное начала координат

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

И если Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числачитается как «две целых и одна вторая», то Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числачитается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числарасполагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав развёрнутом виде записывается как Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа.

А отрицательное смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числазаписывается как Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Теперь мы можем понять, почему смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числарасположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числашага. А поскольку значение Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числаравно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Пример 2. Выделить в неправильной дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числацелую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь

Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числацелую часть

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числав неправильную дробь

Как научиться решать рациональные числа. Смотреть фото Как научиться решать рациональные числа. Смотреть картинку Как научиться решать рациональные числа. Картинка про Как научиться решать рациональные числа. Фото Как научиться решать рациональные числа

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

16 thoughts on “Рациональные числа”

Было бы лучше, чтоб после каждого шага было много задач. Так как без задач, не возможно закрепление и запоминание темы. Только ни в коем случае «один вопрос и пять вариантов ответа». Человек решая, должен быть уверен, что правильно решил задачу.

К каждому шагу дано более одного примера. Вы можете, прочитав условие, самостоятельно попытаться решить примеры.

С большим удовольствием прошёлся по материалу и освежил знания. Жаль нет продолжения. Очень всё доходчиво, спасибо.

Здравствуйте admin! С большим удовольствием повторил математику, скажите пожалуйста какие дальше темы?Очень нужно экспрессом к вышке добраться

Спасибо за сайт с удовольствием изучаю то что пропустил многие годы назад. Но хотелось бы узнать профессию автора и квалификацию и о том дойдет ли админ до разделов высшей математики.

По вашим статьям надо учебники писать. Если бы в у нас в книгах все так понятно писали все бы были отличниками.

Здравствуйте мы продолжаем учится товарищ ленин сказал учиться не поздно а ещё желаю увидеть вышие матиматику в адресе

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *