какой конус называется прямым

Геометрические тела. Конус.

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получаем такую формулу:

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

где α — угол раствора конуса.

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

где R — радиус основания, l — длина образующей.

где S₁ и S₂ — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Источник

Что такое конус: определение, элементы, виды

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.

Определение конуса

Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.

Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.

Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

Основные элементы конуса

Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.

Источник

Какой конус называется прямым

рисунок 1 рисунок 2

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

рисунок 3 рисунок 4

рисунок 5 рисунок 6

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 6).
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж¬ность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 7). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, яв¬ляются образующими конуса.

рисунок 7

Задача №2: У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус. Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 7) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через l. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние. Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основанием — круг с центром О и радиусом R.

рисунок 8 рисунок 9

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 9). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

Источник

Геометрические тела. Конус.

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получаем такую формулу:

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

где α — угол раствора конуса.

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

где R — радиус основания, l — длина образующей.

где S₁ и S₂ — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Источник

Цилиндр, конус, шар

Цилиндр, конус, шар

Основные понятия и свойства цилиндра:

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.

Распишем формулы объема цилиндра и шара.

Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.

Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Признаки подобия треугольников:

Источник