какой метод не используется на этапе поиска решения задачи

Методы поиска решения

Разработаны различные модификации методов поиска с целью повышения их эффективности, а также комплексные целевые стратегии поиска общего характера, моделирующие процесс рассуждения человека. Рассмотренные схемы допускают обобщение на нечеткий случай путем объединения стратегий поиска по состояниям и по задачам, что повышает гибкость стратегии поиска в различной информационной среде. Обзор этих методов можно найти, например, в [12].

В заключение рассмотрим применение некоторых из перечисленных методов поиска решения. Методы перебора не требуют особого комментария. Из множества допустимых альтернатив выбирается произвольная альтернатива. Если она удовлетворяет критериям, то решение получено, если же нет, то берется следующая альтернатива и т.д. Решением считается альтернатива, которая удовлетворяет критериям задачи. Если же таких альтернатив несколько, то выбирается та из них, которая имеет наилучшие значения критериев.

Среди градиентных методов широкое распространение получил так называемый «жадный» алгоритм, в котором решения выбираются в соответствии со значением оценочной функции (функции стоимости). Он приводит к решению в тех случаях, когда задачу можно свести к определению пересечения двух семейств подмножеств, принадлежащих к не зависящим друг от друга частям одного и того же множества.

Рассмотрим пример. Имеется схема автотранспортных перевозок между пунктами, представленная в виде графа, где пункты пронумерованы цифрами от 1 до 10 (рис.4). Требуется найти дерево, имеющее минимальную сумму расстояний. В качестве оценочной функции использована стоимость перевозки, пропорциональная расстоянию (на графе указаны расстояния в километрах).

Рис.4. Граф системы автотранспортных перевозок

Для решения задачи расположим ребра-пути в порядке возрастания стоимости. Имеем 1-3, 6-7, 5-6, 5-8, 9-10, 3-4, 7-10, 1-4, 4-7, 2-3, 3-6, 6-9, 8-9, 1-2, 2-5, 2-6, 3-8. Алгоритм работает следующим образом. Начиная с наименьшего пути, включаем последовательно ребра, имеющие меньшую стоимость из оставшихся и не образующие цикла с уже включенными ребрами. Получаем решение 1-3, 6-7, 5-6, 5-8, 9-10, 3-4 и 7-10. Следующее по стоимости ребро 1-4 исключается, так как оно образует цикл с уже включенными ребрами 1-3 и 3-4. Далее добавляются ребра 4-7 и 2-3. Видно, что все вершины достигнуты и дерево минимальной стоимости построено. Этот же метод применим и при другой интерпретации величин и отношений между ними, например аналогично можно рассмотреть схему телефонных соединений, каналов связи и т.п.

Из эвристических методов рассмотрим генетический алгоритм, который моделируют законы развития живых систем: отбор наиболее приспособленного, наследование полезных признаков и изменчивость. Этот алгоритм был предложен Дж. Холландом в его теории адаптации и состоит из следующих шагов:

− случайным образом создать начальную популяцию из N объектов (структур, вариантов решения и т.п.);

− вычислить для каждого объекта показатель его работы. Если их среднее значение достаточно высокое, то прервать вычисления и считать эти объекты итоговым результатом;

− для каждого объекта подсчитать вероятность его выбора

− применяя генетические операторы, создать следующую популяцию объектов в соответствии с вычисленной вероятностью выбора;

− повторить процедуру, начиная со второго шага.

Применим для поиска решения генетический алгоритм. Необходимо определить конкретный механизм отбора наилучшего, а также способы накопления полезных признаков применительно к решаемой задаче. Правила игры здесь задает ЛПР, устанавливая приоритеты, определяющие необходимость применения генетических операций кроссинговера, изменения и перестановки. Сделаем пояснения относительно этих операций.

Операция кроссинговера в основном будет применяться при отборе вариантов. Наряду с традиционным перекрещиванием дополним ее операциями пересечения и объединения множеств-популяций, как предельными случаями операции кроссинговера.

Операция пересечения применяется к двум вариантам неодинаковой размерности, когда у одного из них отсутствует часть элементов (неполная размерность), причем заполненные позиции совпадают. Операция объединения применяется, когда оба варианта имеют неполную размерность (часть позиций – нулевые позиции), причем заполненные позиции дополняют друг друга.

Операция изменения в основном будет применяться для отбора методов получения решения. Ее использование связано с непригодностью рассматриваемого метода и необходимостью его модификации. Операция перестановки (инверсии) будет применяться при изменении предпочтений ЛПР в оценке вариантов (элементов), например, если критерий (элемент), стоящий на первой позиции, перестал играть доминирующую роль и его нужно заменить.

В данной задаче, говоря языком биологии, популяция состоит из 10000 вариантов решений, каждый из которых оценивается по n критериям, например, n = 100. В действительности на элементном уровне приходится решать несколько задач разной размерности: на уровне подсистем N @ 10, на уровне составляющих подсистем – модулей N @ 100 и на уровне элементов N @ 1000, но в нашем случае это не имеет значения.

Для отбора вариантов используем метод Парето. Определяются варианты, имеющие максимальные оценки хотя бы по одному критерию. Затем они сравниваются между собой. Варианты, которые не сравнимы друг с другом, остаются, остальные отбрасываются. Образуется новая популяция с оставшимися вариантами (множество 1). Это множество пополняется за счет операций кроссинговера и изменения, применяемых к элементам структуры вариантов. Пополненное множество принимается за исходное, и из его вариантов выделяется множество Парето (множество 2). После этого сравниваются варианты множеств 1 и 2. Если возможно сокращение то оно выполняется, и оставшиеся варианты образуют новое множество 3. Оно опять пополняется, и процедура повторяется до тех пор, пока не перестанет улучшаться (расширяться) множество Парето. Для выбора наилучшего решения необходимо к полученному множеству Парето применить методы первой группы, например метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев, метод расстояния и т.п.

Для отбора методов к популяции, элементами которой являются разновидности методов, применяется генетический алгоритм. Метод считается применимым, если его информационные запросы I_M соответствуютусловиям задачи I₀, т.е. I_M Í I₀. Выделяются элементы метода и элементы условий задачи. У каждого метода имеются особые запросы (условия применимости), которые должны содержаться в условиях задачи. Операция кроссинговера при отборе методов мало пригодна, хотя и может использоваться для получения комбинаций методов. Так как «популяция» методов малочисленна (несколько десятков методов), то основной для их трансформации и выбора является операция изменения (мутации), которая применяется, если не выполнены информационные запросы метода. Тогда этот метод отбрасывается (трансформируется) и заменяется другим, пока условия применимости какого-то метода не совпадут с условиями задачи. При этом метод представляется в виде совокупности элементов, составляющих информационный запрос метода (условия применимости). Если имеется много методов, для которых выполнены условия применимости, то исследуется структура методов, и они трансформируются с помощью операций изменения и кроссинговера. Определяется пересечение методов по элементам информационного запроса. Те условия, которые являются общими для методов, образуют типовые элементы (ядро) запроса. Ядро запроса проверяется на соответствие условиям задачи. Если соответствие отсутствует, то применяется операция изменения и происходит их замена другими. Методы ранжируются по их соответствию условиям задачи, точнее, по числу особых условий их применения (по типовым элементам запроса). Например, для метода аддитивной свертки важность критериев должна плавно убывать, для применения метода главного критерия один из критериев должен быть значительно важнее остальных, для метода пороговых критериев должны быть заданы пороговые значения критериев, для метода расстояния должно быть известно «идеальное» решение и т.п. Предварительное ранжирование методов осуществляет ЛПР по ряду критериев, которые учитывают предпочтения ЛПР, степень соответствия условиям задачи (информационный запрос), точность, сложность, надежность, время и т.п. (общее число критериев n @ 10). Вес метода определяется отношением числа критериев с максимальным (наилучшим) значением к общему числу критериев при прочих равных условиях, т.е. при соответствии информационного запроса метода условиям задачи (этот критерий является основным). Остальная процедура выбора предпочтительного метода осуществляется аналогично отбору вариантов, изложенному выше. Для повышения достоверности расчетов часто целесообразно применять несколько методов с близкими оценками, поэтому наряду с кроссинговером, изменением и перестановкой следует использовать операцию объединения, которая позволяет получать комбинированные методы выбора вариантов. Об использовании операции пересечения было сказано выше.

Проведенное рассмотрение позволяет определить принципиальные условия применения генетического алгоритма к решению задачи синтеза, конкретные расчеты, хотя и трудоемки, не представляют особых затруднений.

Источник

Статья на тему: «Методы и способы решения текстовых задач»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Методы и способы решения текстовых задач

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.

Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

восприятие и осмысление задачи;

поиск плана решения;

выполнение плана решения;

Существуют различные методы решения текстовых задач:

метод проб и ошибок.

В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Работа над текстовой задачей остается одним из важнейших аспектов обучения в начальной школе, когда закладываются основы знаний; является движущим фактором в развитии младших школьников. Из текстов задач дети открывают новое об окружающем мире, испытывают чувство удовлетворения и радости от их успешного решения.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, развитию умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.

При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.

Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.

Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.

Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.

В задах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться.

Источник

Статья «Методы решения математических задач».

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

I. Роль задач в математическом образовании.

Вооружение учащихся методами и способами решения задач, обучение их самостоятельному поиску решений задач – одна из важных проблем школьного математического образования. Основная цель обучения заключается в том, чтобы научить человека методам решения практических, теоретических задач, которые встретятся ему в жизни, в будущей его деятельности, научить ученика использовать математические подходы для решения задач, возникающие в окружающем его мире, уметь осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации.

Наблюдения за работой учителей дают повод считать, что большинство из них в качестве единственного метода обучения решению задач используют показ способов решения определенных видов задач и допускают, что умение школьников решать задачи находится в прямой зависимости от числа решенных задач.

Однако, психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоит в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач. Поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче – ее ответ.

II. Методы поиска решения задач.

Существуют различные методы поиска решения задачи. Учащихся желательно знакомить с ними, показывая в каких случаях удобнее использовать тот или иной из них.

Найденное, известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и четко. И в дальнейшем, встречаясь с подобными задачами, учащиеся используют уже известный им способ и решают эти задачи синтетическим методом.

Чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить готовое решение, однако ученику при этом трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей, чем синтез, затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться ее решить. Если анализ используется систематически, то у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользуется им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу.

Поскольку анализ является неотъемлемой частью решения большинства задач, то ясно, насколько важно обучать школьников процессу анализа. Обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем и их доказательств, сколько овладению методами познания.

При решении задач анализ может выступать в двух формах:

1) анализ в расчленения;

2) анализ в форме рассуждения.

Анализ в форме расчленения.

Ознакомление учащихся с этой формой анализа можно осуществлять двумя способами:

а) сообщаем общую схему метода, затем иллюстрируем ее применение на примерах;

б) показываем применение анализа в форме расчленения при решении задачи.

Общая схема анализа в форме расчленения:

1) разбиваем условие задачи на отдельные части;

2) выделяем отдельные условия;

3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу;

4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

б) анализ в форме рассуждения.

Анализ в форме рассуждения.

Эта форма подразделяется на два вида: восходящий и нисходящий. Ознакомление учащихся с нисходящим анализом лучше начать с его общей схемы.

Общая схема нисходящего анализа

Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оно верно, и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев

1) Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи на этом закончено.

2) Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждений:

а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.

б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходиться применять другие методы поиска решения задачи.

3) Если верное следствие получить не удается, то так же приходится перейти к другим методам.

Общая схема восходящего анализа

Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В, и т.д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.

3. Переформулировка задачи.

При решении задачи с использованием анализа целесообразно четко формулировать, «промежуточные» задачи, возникающие по ходу поиска решения. Такой способ решения называют переформулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим удачным методическим ситуациям:

1) Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредотачиваются на его ос-новных этапах.

2) Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдельные логические части. Рассуждение разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения.

3) При подведении итога решения задачи легче выделить и рекомендовать для запоминания выделенные при поиске решения вспомогательные задачи – теоремы.

В процессе поиска решения задачи важное значение имеет прогнозирование – предвидение тех результатов, к которым может привести поиск. В современной психологии считают, что человек ищет и находит решение задачи на основе непрерывного прогнозирования искомого. Формирование умения прогнозировать предвидеть результаты, к которым приведет каждый отдельный шаг в процессе поиска решения задачи, является важным компонентом развития мышления учащихся. С целью такого развития при обсуждении идеи решения задачи, когда кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, целесообразно добиваться того, чтобы учащийся обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет.

5. Индуктивный метод.

Как правило, применение индуктивного метода занимает небольшую часть времени. По этой причине от внимания многих учащихся «ускользает» польза применения индукции. Они не успевают заметить, что именно «натолкнуло» их на «догадку». Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рассмотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной, вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется индуктивный метод и переформулировка задачи. Полезно все задачи разделять на два вида: задачи на освоение теоретического материала и задачи на применение этого материала. К первому виду следует отнести простейшие задачи – упражнения и «одношаговые» задачи на непосредственное использование формул. Последовательность операций для решения таких задач может быть следующая:

1) устанавливаются размеры необходимых элементов (данных или полученных измерением);

2) подставляют эти размеры в формулу.

Сюда можно отнести так называемые «двухшаговые» задачи, в которых требуется найти всего лишь одно данное.

1) записать рабочую формулу и установить, какие данные есть, и каких нет;

2) найти неизвестное данное;

3) подставить в формулу найденный размер.

Эти задачи в некотором смысле имеют воспитательное значение. При их решении необходимо показать, что умение решить задачу предполагает наличие у решающего ее прочных и глубоких знаний теории, знаний ряда теорем, формул и определений. При решении этих задач повторяется большой материал. Ко второму виду следует отнести так называемые «нестандартные» задачи. Психологические исследования показывают, что попутное решение задач на применение изучаемого теоретического материала не эффективно. Лучше их решать, выделяя специальные уроки.

1) разбиение задач на подзадачи;

2) разбиение области задачи на части;

3) сведение задачи к ранее решенным;

4) модельные преобразования задачи.

Для описания деятельности по решению задач различные авторы предлагают различные схемы, от очень подробных до довольно простых и наглядных. Можно рекомендовать учащимся такую короткую схему:

1.Анализ условия задачи.

2. Поиск плана решения.

3. Осуществление найденного плана решения и проверка того, что полу-ченный результат удовлетворяет условию задачи.

4. Обсуждение (анализ) проведенного решения, рассмотрение других возможных решений.

Источник

Методические приемы поиска решения задач по математике

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Методические приемы поиска решения задач

Значительное количество задач предполагает при своем решении, как замечает И.Л. Никольская не творческую деятельность, а применение в основном определенного правила, формулы, определения, теоремы.

Например, для решения любого уравнения первой степени необходимо известные слагаемые перенести в правую часть, а слагаемые, содержащие неизвестные, перенести в левую часть, привести подобные члены и обе части уравнения разделить на коэффициент при неизвестном, если он отличен от нуля. Если он равен нулю, то поступают известным образом.

Приведенное правило – предписание алгоритмического типа, или алгоритм решения линейного уравнения. Правила сравнения чисел, действий над числами в различных числовых множествах, решения линейных, квадратных уравнений, неравенств – все это примеры алгоритмов. Под алгоритмом понимается точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности операций для решения любой из задач, принадлежащих некоторому классу [Никольская, Семенов, 1989].

Алгоритм может быть задан в виде таблицы, правила, формулы, определения, описания. Алгоритм может регламентировать действие с различной степенью подробности – свернутости, в зависимости от того, кому он предназначается. Если алгоритм предъявлен в форме последовательности команд, то это готовая программа действия. Приведем пример. Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Если алгоритм задан в виде формулы, правила, таблицы, определения, то программы нет. Ее предстоит создать решающему задачу. Рассмотрим в качестве примера определение решения системы неравенств с переменной как значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Определение подразумевает следующие шаги решения системы неравенств: 1) решить каждое неравенство; 2) найти пересечение полученных множеств.

Алгоритмы, как отмечает А.Б. Василевский, можно разделить на алгоритмы распознавания и преобразования. Признаки делимости, рассмотренные ранее алгоритмы подведения под определение и под понятие являются примерами алгоритмов распознавания. Алгоритмы по применению формул являются алгоритмом» преобразования. Однако при применении конкретной формулы, например, квадрата суммы двух чисел, вначале происходит узнавание формулы, доказательство того, что выбор формулы сделан правильно, а затем производится собственно преобразование: актуализация формулы и использование ее по шагам. Описанная деятельность состоит из следующих шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвысить первый член двучлена в квадрат; 4) составить произведение первого и второго членов двучлена; 5) удвоить результат предыдущего шага; 6) возвысить второй член двучлена в квадрат; 7) результаты третьего, пятого и шестого шагов сложить [Василевский, 1988].

Составлению, выделению алгоритмов, как отмечает Л.М. Фридман, необходимо специально обучать.

Это может происходить с помощью проведения обобщений при решении нескольких аналогичных задач. Необходимо обучать чтению формул словами, необходимо обучать переходу от речевой, формы в аналитическую и обратно, необходимо обучать строить программы действий в тех случаях, когда материал в книге или в рассказе предъявлен в описательной форме. Это и будет означать обучение применению теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Необходимо также обучать разворачивать, дополнять алгоритмы, предъявленные в готовой форме [Фридман, 2004].

Вторая рекомендация по использованию алгоритмов вытекает из положений теории деятельности. Она заключается в требовании проведения всех операций, содержащихся в алгоритме (правиле) во внешнем плане и в развернутой форме, т. е. в написании и проговаривании всех операций без пропусков [Никольская, Семенов, 1989].

Проиллюстрируем на примерах осуществление поиска решения стандартной задачи.

Задача 1. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, если а=10, d=4.

1) В задаче указан ее вид: имеем задачу на нахождение членов арифметической прогрессии.

2) Ищем способ решения задачи:

 вспоминаем определение арифметической прогрессии: числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом (разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией.

 на основе этого определения составляем программу решения задачи: нам известно, поэтому находить будем используя определение: и т.д.

3) Проводим решение задачи по найденному способу.

Примеры задач, на которых показывается алгоритмические приемы поиска их решения, приведены в приложение 2. Урок с организацией поиска решения таких задач приводится в приложение 1.

Рассмотрим две задачи, которые можно решить с помощью одной и той же теоретической базы – с помощью векторов.

Задача 2 . Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Чтобы доказать перпендикулярность векторов АС и BD, достаточно доказать равенство нулю их скалярного произведения.

Введем векторы и выразим вектор EF из двух многоугольников:

; .

Сложим почленно полученные равенства:

,

.

Последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: т. к. векторы ВС и AD коллинеарны по определению трапеции, то и вектор EF также коллинеарен им, т. к. является линейной комбинацией этих векторов, а значит, отрезок EF параллелен основаниям трапеции. Т. к. векторы ВС и AD сонаправлены, то длина вектора равна сумме длин векторов ВС и AD и, следовательно, длина вектора EF равна полусумме длин векторов ВС и AD. А значит, длина отрезка EF соответственно равна полусумме длин отрезков ВС и AD.

При решении рассмотренных выше задач, как отмечает А.Б. Василевский, можно выделить одинаковую схему – одинаковые шаги решения, а именно:

– введение удобным образом векторов;

– переформулирование условия и требования задачи на язык векторов;

– решение вновь сформулированной задачи с помощью векторного аппарата (определений, законов действий и т. д.);

По выделенной схеме решается как вторая, так и третья задача. По этой же схеме с помощью векторного аппарата можно решить многие геометрические задачи. Перечисленные шаги образуют прием решения задач векторным методом.

Этот прием учитель может представить ученикам в готовом виде. Но, по мнению Г.И. Саранцева, большую познавательную ценность имеет работа по самостоятельному выделению учащимися под руководством учителя шагов приведенного приема. Некоторые методисты отрицательно относятся к решению типовых задач как к натаскиванию. Однако учащиеся, знакомые с приемом, умеют решить не одну конкретную задачу, а целый класс задач, к которым они подходят с более высоких позиций обобщения учебного материала. Материал лучше структурируется, повышаются его уровень системности, возможности учащихся при решении задач. Ученик, не владеющий наиболее распространенными типами задач, не сможет решить ни одной нестандартной задачи или будет делать это со значительно большим усилием, чем тот, у кого в запасе владение многими типами задач.

Четыре выделенных шага образуют прием по решению задач данного типа. Этот прием можно отнести к полуалгоритмическим приемам, т. к. знание его не обязательно приведет решающего к получению верного результата, но может существенно облегчить поиск. Алгоритмические предписания являются той базой, владение которой облегчает решение задач [Саранцев, 2005].

Подготовка к приему, как замечают М.Б. Балк и Г.Д. Балк, может быть организована задолго до явного введения самого приема. Учащиеся решают задачи, а учитель старается акцентировать их внимание на средствах решения, на последовательности одних и тех же шагов. Этот период можно назвать пропедевтическим, подготовительным в формировании приема. Следующий этап – этап явного введения приема (предписания) с помощью учащихся на основе сравнения процессов решения выделенных задач. Далее организуется работа по закреплению шагов предписания и применению всего приема.

Самостоятельно составленное учителем предписание требует предварительной проверки на решении нескольких задач и внесения в него при необходимости корректировки.

Далее остановимся на эвристических приемах поиска решения задач. Эвристики – это основная идея решения задачи. Знание эвристик не дает гарантии того, что будет решена любая задача. Эвристики лишь помогают квалифицированно делать попытки поиска решения. При решении некоторых задач может быть использовано несколько эвристик. Учителю необходимо знание эвристик для того, чтобы помочь учащимся обнаружить их в собственной (учащихся) деятельности, разобраться в сущности методов и научиться ими пользоваться. Приведем примеры наиболее часто используемых эвристик и соответственно задач, которые решаются с их помощью.

Метод восходящего анализа – решение задачи с конца, от требования – к условию. Эта эвристика осознанно или неосознанно, в большей или в меньшей степени используется при решении любой задачи.

Задача 4 . Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенные к гипотенузе (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Прямоугольный треугольник ABC

При использования метода анализа постоянно отыскивается ответ на вопрос, что достаточно найти, доказать, чтобы ответить на вопрос. Чтобы доказать равенство углов ОВК и КВМ, достаточно доказать равенство углов АВМ и СВО. А так как углы МВА и ВАМ равны, то для доказательства равенства углов СВО и МВА достаточно доказать равенство углов СВО и САВ. А доказать равенство этих углов уже не составит труда.

А.Б. Василевский отмечает, что поиск решения задачи облегчается, если задачу сформулировать иначе: доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон, делит основания трапеции пополам. Задача при этом остается той же, но новая формулировка подсказывает определенный метод решения [Василевский, 1988, с. 162].

1. Соединим отрезком точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции Е и точку пересечения ее диагоналей О. ВС∩ЕО = М, АD∩ЕО = N. Докажем, что ВМ = МС и АN = ND (рис. 2.3). Из этого и будет следовать, что середины оснований трапеции тоже лежат на той же прямой ЕО. По-другому говоря, переформулируем данную задачу так: доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

2. Предварительно через точку О параллельно основаниям данной трапеции проведем прямую, пересекающую ее боковые стороны АВ и CD в точках Р и Q соответственно, и докажем, что РО = ОQ. Действительно, ΔАОD

ΔВОС. Значит, . Прибавив единицу к обеим частям этого равенства, получим

(1)

ΔOQD, следовательно, . Аналогично ΔВСА

ΔРОЕ и, значит, . Аналогично . Отсюда получаем, что . Теперь уже видно, что из РО = ОQ следует, что АN = ND.

Рис. 2.3. Изображение отрезка PQ параллельного основаниям трапеции

Рис. 2.4. Изображение трапеции ABCD

1. Соединим точки Е и О. Докажем, что ВМ = МС и АN = ND (рис. 2.3).

ΔNDE. Из подобия ΔВМЕ и ΔANE следует . Из подобия ΔМСЕ и ΔNDE следует . Значит, .

3. Рассмотрим еще две пары следующих подобных треугольников: ΔВМО

Из подобия ΔВМО и ΔNОD следует . Из подобия ΔМОС и ΔАОN следует . Значит, .

4. Осталось решить систему уравнений:

В качестве следующей эвристики рассмотрим м етод суперпозиции – решение задач в частных случаях. Причем рассматриваемые частные случаи должны полностью исчерпывать все возможные случаи. Например, требуется доказать неравенство.

а 2 (а 6 + 1) – а(а 4 + 1) + 1, которое принимает лишь положительные значения.

Задача 7. Определить, какое число больше: 19971998 или 19981997.

Решение. Преобразование разности этих выражений к успеху не приводит. Но если выражения прологарифмировать: 1998 lg 1997 и 1997 lg 1998, то вместо исходных можно сравнивать выражения и , тогда оказывается, что сравнивать надо два значения функции , т. е. требуется решить вопрос, какой характер монотонности имеет функция, а это стандартная задача.

Если решение задачи начинать с рассмотрения движения собаки и второго велосипедиста, то перед решающим встает необходимость рассматривать последовательность встречных движений, что может оказаться очень непростым делом. А если внутри основной задачи выделить в качестве элементарной подзадачи движение велосипедистов навстречу друг другу, в которой требуется определить время до их встречи, то сразу вырисовывается и вторая элементарная подзадача – движение собаки, скорость и время которой известны, а маршрут движения – безразличен.

Прием выделения подзадач внутри основной задачи, как отмечает Н.П. Кострикина, применяется при решении подавляющего большинства задач. Этот прием используется, в частности, когда решается любая задача на описанные и вписанные в сферу многогранники, когда требуется, например, доказать, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте пирамиды; что основание перпендикуляра, опущенного из любой точки высоты пирамиды на боковую грань, попадает на апофему боковой грани. Не зная, как решить задачу, решающий часто проводит рассуждения по схеме: «По данным задачи я могу найти то-то и то-то, а что это мне дает для решения основной задачи?» [ Кострикина, 1991 ].

При решении ряда задач может оказаться полезным прием вспомогательных неизвестных – эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач. Рассматриваемый метод имеет три модификации: когда при замене число переменных или уменьшается, или увеличивается, или остается неизменным. Цепи введения вспомогательных неизвестных при этом различные. Рассмотрим две задачи.

3 где .

Пусть , тогда U 2 = .

И вместо исходного неравенства получаем:

Однако , т. е. . Значит, исходное неравенство выполняется при всех допустимых значениях х и у.

.

Замена сводит исходное уравнение к достаточно хорошо известной форме .

Малых изменений метод – эвристика, предполагающая замену одной модели другой, в результате незначительной, т.е. сохраняющей основные качественные характеристики первой модели, деформации.

Задача 11. Доказать неравенство

Решение.

Задача 12. Что больше 1·2·3·…·20 или 1+2+3+…+1000000?

Решение. Имеем: 1+2+3+…+1000000 6 · 10 6 = 10 12 ; 1·2·3·…·20 = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·…·20 > 2·5·10·11·12·…·20 > 10 12

Значит, 1·2·3·…·20 > 1+2+3+…+1000000.

Решение. а) 63 5 5 = (8 2 ) 5 = 8 10 ; б) 15 6 6 = (4 2 ) 6 = 4 12 12

Задача 14. Найти наибольшее значение выражения

Решение.

Равенство достигается, если

Задача 15. Найти наибольшее значение выражения

_{Решение.}

Равенство достигается, если

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 6, при х = 2; у =3.

Задача 16. Найти наибольшее значение выражения

_{Решение.} Равенство достигается, если

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 3, при х = 3, у = 7.

Надо ли знакомить учащихся с эвристиками специально? Решающие находят, изобретают эвристики и сами. Но для этого нужны значительные усилия и время. Учителю полезно обратить внимание учащихся на метод, с помощью которого удалось осуществить поиск решения трудной задачи. Это можно сделать после решения задачи с помощью вопросов типа: «Как удалось переформулировать требование (условие) задачи?»; «Какие подзадачи удалось выделить, облегчив решение основной?»; «Как при решении задачи была использована аналогия?» Так постепенно вместе с учителем учащиеся осознают многие из используемых ими приемов, что позволит в дальнейшем сознательно привлекать их к решению других задач. При этом поиск решения становится более эффективным. Владение эвристиками расширяет творческие возможности учащихся.

Как правило, отмечает Л.М. Фридман, в чистом виде единичные эвристики при решении задач не применяются. Имеет место использование некоторой совокупности эвристик. Ни одна задача не обходится без методов анализа, переформулирования, выделения известных подзадач.

В методике Р.Г. Хазанкина, известного учителя из Белорецка, обучение эвристикам можно усмотреть в его методике решения «ключевых» задач. Ключевыми он называет задачи раздела, при решении которых раскрываются основные математические идеи, используемые для решения большого класса задач. Уроки решения «ключевых» задач проводятся в форме лекции, после чего учащиеся пытаются использовать рассмотренные идеи при решении других задач раздела.

Источник