какой многоугольник называется описанным
Описанная и вписанная окружность
теория по математике 📈 планиметрия
Описанная окружность
Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.
Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.
Вписанный и описанный треугольники
Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность: 
Центр вписанной окружности
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Вписанный и описанный четырехугольники
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.
Условие вписанной в 4-х угольник окружности
Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.
На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB
Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.
На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.
Вписанные и описанные многоугольники
Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.
Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.
 Вписанный многоугольник |  Описанный многоугольник |
Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.
Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.
Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.
Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.
Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.
Геометрическая фигура многоугольник
Многоугольником называется геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией. При этом количество звеньев ломаной не должно быть меньше трех. Каждая пара отрезков ломаной имеет общую точку и образует углы. Количество углов совместно с количеством отрезков ломаной являются основными характеристиками многоугольника. В каждом многоугольнике количество звеньев ограничивающей замкнутой ломаной совпадает с количеством углов.
Сторонами в геометрии принято называть звенья ломаной линии, которая ограничивает геометрический объект. Вершинами называют точки соприкосновения двух соседних сторон, по количеству которых получают свои названия многоугольники.
Если замкнутая ломаная состоит из трех отрезков, она носит название треугольника; соответственно, из четырех отрезков — четырехугольником, из пяти — пятиугольником и пр.
Для обозначения треугольника или четырехугольника пользуются заглавными латинскими буквами, обозначающими его вершины. Буквы называют по порядку — по часовой стрелке или против нее.
Основные понятия
Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:
Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:
Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.
Виды фигур
Треугольник
Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.
Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.
По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:
Кроме того, принято различать следующие треугольники:
Четырехугольник
Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.
На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.
Видео
Дополнительную информацию о многоугольниках вы найдете в этом видео.
» width=»560″ height=»314″ allowfullscreen=»allowfullscreen»>Какой многоугольник называется описанным
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка, равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, — точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. В многоугольник можно вписать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.
В любой треугольник можно вписать окружность.
В правильный многоугольник можно вписать окружность.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Если окружность радиуса r вписана в многоугольник, площадь которого равна S, а полупериметр равен p, то имеет место соотношение 
площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
Если окружность вписана в правильный треугольник, то ее радиус r выражается через его сторону a по формуле 
Если окружность радиуса r вписана в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, то 
Если окружность вписана в квадрат, то ее радиус равен половине стороны квадрата.
Какой многоугольник называется описанным
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка, равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, — точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника. В многоугольник можно вписать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.
В любой треугольник можно вписать окружность.
В правильный многоугольник можно вписать окружность.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Если окружность радиуса r вписана в многоугольник, площадь которого равна S, а полупериметр равен p, то имеет место соотношение площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
Если окружность вписана в правильный треугольник, то ее радиус r выражается через его сторону a по формуле
Если окружность радиуса r вписана в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, то
Если окружность вписана в квадрат, то ее радиус равен половине стороны квадрата.