какой наибольший остаток может получиться при делении трехзначного числа на его сумму цифр
Какой наибольший остаток может получиться при делении трехзначного числа на его сумму цифр
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.
При 
равенство будет выполнено. Следовательно, 198 — один из возможных примеров.
Но 
следовательно, левая часть равенства не меньше 95, а правая часть не больше 36. Противоречие.
в) Число имеет вид 700 + 10b + c, необходимо найти наибольшее целое значение выражения 
Разберем случаи, когда b + c ≤ 2 (см. табл.). Для таких b и c наибольшее отношение равно 80.
| b | c |  |
|---|---|---|
| 0 | 1 |  |
| 0 | 2 |  |
| 1 | 0 |  |
| 1 | 1 |  |
| 2 | 0 |  |
При b + c ≥ 3 справедлива оценка
поэтому в этом случае наибольшее возможное отношение меньше 80. Следовательно, наибольшее возможное отношение достигается при b = 2, c = 0, оно равно 80.
Ответ: а) да, б) нет, в) 80.
Приведём решение пункта б) Дьяковой Дарьи (Москва).
Положим 
и запишем условие 
в виде 
По условию, S натуральное, а значит, число 
должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Наименьшее возможное значение S соответствует наименьшему 
поэтому 
С другой стороны, 
Полученное противоречие показывает, что среди трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, искомого нет.
Рассмотрим числа оканчивающиеся на 5. В этом случае 
С другой стороны, 
Выпишем трехзначные числа, заканчивающиеся на 5, сумма цифр которых не меньше 21 и не больше 23. Получим числа: 995, 985, 975, 895, 885, 795. Но каждое из найденных чисел при делении на 5 даст больше 23. Следовательно, среди трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, искомого тоже нет.
Пример числа, удовлетворяющего требованиям пункта а), единственный. Действительно, при 
левая часть равенства 
не меньше 89. А правая часть при 
не больше 79, при 
не меньше 90.
Другие пути решения аналогичных задач показаны нами в заданиях 563580 и 563695.
Аналоги к заданию № 563580: 563677 563659 Все
Какой наибольший остаток может получиться при делении трехзначного числа на его сумму цифр
Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.
а) Может ли получиться 13?
б) Может ли получиться 6?
в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 6?
Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.
При 
равенство будет выполнено. Следовательно, 117 − один из возможных примеров.
Но следовательно, левая часть равенства не меньше 94, а правая часть не больше 45. Противоречие.
в) Имеем уравнение 
требуется найти максимально возможное целое x. Рассмотрим случай 
Тогда
Исходное число не может быть равно 600, поэтому 
и минимальное возможное 
, при котором 
будет целым, равно 3. Тогда 
Заметим, что при 
получим 
Теперь разберём случай 
Имеем:
Аналогично предыдущему надо рассмотреть 
получим 
Далее рассмотрим случай 
Имеем:
Рассматривая 
найдем 
Осталось рассмотреть случай, когда 
и 
Из исходного соотношения получаем:
откуда 
то есть 
Тем самым искомое наибольшее значение равно 70.
Ответ: а) да, б) нет, в) 70.
Другой путь решения показан нами в заданиях 563580 и 563677.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Аналоги к заданию № 563580: 563677 563659 Все
Какой наибольший остаток может получиться при делении трехзначного числа на его сумму цифр
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.
При равенство будет выполнено. Следовательно, 198 — один из возможных примеров.
Но следовательно, левая часть равенства не меньше 95, а правая часть не больше 36. Противоречие.
в) Число имеет вид 700 + 10b + c, необходимо найти наибольшее целое значение выражения Разберем случаи, когда b + c ≤ 2 (см. табл.). Для таких b и c наибольшее отношение равно 80.
| b | c | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | |
| 0 | 2 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 0 | |
При b + c ≥ 3 справедлива оценка
поэтому в этом случае наибольшее возможное отношение меньше 80. Следовательно, наибольшее возможное отношение достигается при b = 2, c = 0, оно равно 80.
Ответ: а) да, б) нет, в) 80.
Приведём решение пункта б) Дьяковой Дарьи (Москва).
Положим и запишем условие в виде По условию, S натуральное, а значит, число должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Наименьшее возможное значение S соответствует наименьшему поэтому С другой стороны, Полученное противоречие показывает, что среди трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, искомого нет.
Рассмотрим числа оканчивающиеся на 5. В этом случае С другой стороны, Выпишем трехзначные числа, заканчивающиеся на 5, сумма цифр которых не меньше 21 и не больше 23. Получим числа: 995, 985, 975, 895, 885, 795. Но каждое из найденных чисел при делении на 5 даст больше 23. Следовательно, среди трехзначных чисел, оканчивающихся на 5, искомого тоже нет.
Пример числа, удовлетворяющего требованиям пункта а), единственный. Действительно, при левая часть равенства не меньше 89. А правая часть при не больше 79, при не меньше 90.
Другие пути решения аналогичных задач показаны нами в заданиях 563580 и 563695.
Аналоги к заданию № 563580: 563677 563659 Все