какой отрезок называется образующей конуса
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Стереометрия:
Контакты
Конус
Конусом ( прямым круговым конусом ) называется тело, состоящее из круга ( основания конуса ), точки, не лежащей в плоскости этого круга ( вершины конуса ), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.
Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.
Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.
Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.
Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.
Круговой конус — конус, у которого в основании круг.
Прямой круговой конус ( просто конус ) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.
Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. См.Рис.2.
Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3.
Видео-решение.
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.
Эти прямые – образующие конической поверхности.
Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.
Конус– тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.
Ось конической поверхности называется осью цилиндра.
Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.
Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.
Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 130-133.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-79.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Основные определения
В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.
Ввожу новые понятия конуса, основания конуса, вершины конуса, образующих конуса, боковой поверхности конуса, оси конуса и высоты конуса.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
Круг называют основанием конуса.
Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.
Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.
Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.
Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.
2. Сечения конуса различными плоскостями
Это два основных вида сечения конуса, которые изучаются в средней школе на базовом уровне. Следует упомянуть, что существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.
3. Основные формулы
Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: Sбок=𝛑RL.
Площадь полной поверхности конуса: Sполн=𝛑R(R+L).
Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.
Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.
Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.
Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.
5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6, а площадь основания равна 8.
Его высота SO является высотой конуса.
R=
=
=OB.
Теперь найдем высоту:
6=SO·OB=SO·
.
Отсюда: SO=3
Ответ: 3
.
2. Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 7 и меньшей боковой стороной 4 вращается вокруг меньшей стороны. Найдите элементы усеченного конуса.
Радиус меньшего основания
Радиус большего основания
Площадь боковой поверхности конуса
Площадь осевого сечения
Площадь полной поверхности конуса
Трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD.
AD – высота усеченного конуса, AD=4.
АВ – радиус меньшего основания, AB=4.
DC – радиус большего основания, DC=7.
Площадь боковой поверхности конуса вычислим по формуле: Sбок.пов.ук=π(r+R)L.
Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно найти образующую.
Ее найдем из треугольника BHC: BC=5 (это египетский треугольник).
Теперь найдем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности равна 55π.
Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 14 и высотой, равной 4.
Так что площадь этой трапеции равна: S=4(4+7)=44.
Для того чтобы найти площадь полной поверхности, нужно к площади боковой поверхности прибавить площади ее оснований.
Геометрические тела. Конус.
Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.
Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.
Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.
Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1, R2 и образующей l получаем такую формулу:
Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:
Свойства конуса.
где S — площадь основания, H — высота.
Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.
где α — угол раствора конуса.
а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:
где R — радиус основания, l — длина образующей.
где S1 и S2 — площадь верхнего и нижнего оснований,
h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.
Геометрические тела. Конус.
Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.
Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.
Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.
Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
| |
| |
| |
| |
По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1, R2 и образующей l получаем такую формулу:
Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:
Свойства конуса.
где S — площадь основания, H — высота.
Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.
где α — угол раствора конуса.
а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:
где R — радиус основания, l — длина образующей.
где S1 и S2 — площадь верхнего и нижнего оснований,
h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.
Образующая конуса. Длина образующей конуса
Геометрия является разделом математики, изучающим структуры в пространстве и отношение между ними. В свою очередь она также состоит из разделов, и одним из них является стереометрия. Она предусматривает изучение свойств объемных фигур, находящихся в пространстве: куба, пирамиды, шара, конуса, цилиндра и др.
Конус – это тело в евклидовом пространстве, которое ограничивает коническая поверхность и плоскость, на которой лежат концы ее образующих. Его образование происходит в процессе вращения прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов, поэтому он относится к телам вращения.
Вам будет интересно: Площадь основания правильной шестиугольной призмы. Формулы площади правильного шестиугольника
Составляющие конуса
Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.
Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.
Конус состоит из следующих элементов:
Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.
Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.
Длина образующих в прямом конусе
Вам будет интересно: Значение выражения «угрюмый человек»
Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.
То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:
l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2
Образующая в наклонном конусе
Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.
Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.
Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:
где r1 – это часть радиуса между осью и высотой;
В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:
где R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;
r – радиус основания;
r1 – часть радиуса между осью и высотой.
Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:
или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:
Сечение конуса
Осевым сечением конуса называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте. В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание – это диаметр основания. В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.
Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.
Площадь сечения
Упомянутое ранее осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Исходя из этого, его площадь можно рассчитать по формуле площади треугольника:
S = 1/2 * d * h или S = 1/2 * 2r * h
где S – это площадь сечения;
d – диаметр основания;
В косом, или наклонном конусе сечение по оси также является треугольником, поэтому в нем площадь сечения рассчитывается аналогично.
Объем
Поскольку конус является объемной фигурой в трехмерном пространстве, то можно вычислить его объем. Объемом конуса называется число, которое характеризует это тело в единице измерения объема, то есть в м3. Расчет не зависит от того, прямой он или косой (наклонный), так как формулы для двух этих видов тел не отличаются.
Как указано ранее, образование прямого конуса происходит вследствие вращения прямоугольного треугольника по одному из его катетов. Наклонный же, или косой конус образуется иначе, поскольку его высота смещена в сторону от центра плоскости основания тела. Тем не менее такие отличия в строении не влияют на методику расчета его объема.
Расчет объема
Формула объема любого конуса выглядит следующим образом:
где V – это объем конуса;
Для того чтобы рассчитать обьем конуса, необходимо иметь данные о высоте и радиусе основания тела.
Для расчета высоты тела необходимо знать радиус основания и длину его образующей. Поскольку радиус, высота и образующая объединяются в прямоугольный треугольник, то высоту можно рассчитать по формуле из теоремы Пифагора (a2+ b2= c2 или в нашем случае h2+ r2= l2, где l – образующая). Высота при этом будет рассчитываться путем извлечения квадратного корня из разности квадратов гипотенузы и другого катета:
То есть высота конуса будет равна величине, полученной после извлечения квадратного корня из разности квадрата длины образующей и квадрата радиуса основания:
Рассчитав таким методом высоту и зная радиус его основания, можно вычислить объем конуса. Образующая при этом играет важную роль, так как служит вспомогательным элементом в расчетах.
Аналогичным образом, если известна высота тела и длина его образующей, можно узнать радиус его основания, извлекая квадратный корень из разности квадрата образующей и квадрата высоты:
После чего по той же формуле, что указана выше, рассчитать объем конуса.
Объем наклонного конуса
Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.
Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания. Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания). После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.