при каком движении касательное ускорение точки равно нулю
55)При каком движении точки равно нулю касательное ускорении и при каком нормальное?
Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:
.Вектор называется тангенциальной или
касательной составляющей ускорения, а вектор — нормальной
По формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е.дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f(t).Вектор (или ось ) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния s.
то вектор w в этот момент направлен по касательной к траектории( ). Такой случай может иметь место или когда в данный момент скорость точки обращается
предыдущих рассуждений, когда точка в течение этого промежутка движется относительно выбранной системы отсчета равномерно и прямолинейно.
56)Подвижные и неподвижные центроиды.
Геометрическую картину движения плоской фигуры в ее плоскости можно представить с помощью центроид. При движении плоской фигуры положение мгновенного центра вращения будет непрерывно изменяться как на неподвижной плоскости, так и на плоскости, связанной с движущейся фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости есть, следовательно, непрерывная кривая, которая называется неподвижной центроидой(неподвижной полодией).Геометрическое место мгновенных центров вращения на подвижной плоскости, связанной с движущейся фигурой, есть также непрерывная кривая, называемая подвижной центроидой(подвижной полодией).После поворота фигуры вокруг данного мгновенного центра подвижная цнтроида, повернувшись вместе с фигурой, соприкоснется с неподвижной в точке, которая будет мгновенным центром для следующего момента времени. Следовательно, при движении фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения( точка касания, для фигуры мгновенный центр скоростей, имеет скорость, равную нулю). Пользуясь этой картиной можно всякое непоступательное движение плоской фигуры в ее плоскости осуществить геометрически качением без скольжения неизменно связанной с этой фигурой подвижной центроиды с неподвижной(рис 91)Например, если круг Д (рис 92)катится без скольжения по прямой д,то окружность круга будет подвижной, а прямая неподвижной центроидой.Мгновенный центр вращения будет в (.)Р касания обеих центроид.Чтобы представить кинематическую картину движения, надо в каждый момент времени задать угловую скорость фигуры, т.е. задать w(t).Траектория какой-либо (.)По отношению к неподвижной центроиде- рулетта(рис 93). Вообще рулетта это траектория какой-либо точки плоскости, катящейся без скольжения по неподвижной кривой- базе. Например, при качении одной окружности по другой рулетты- укороченные и растянутые эпи- или гипоциклоиды. При решении кинематических задач можно использовать принцип обратимости движения, т.е. считать за основную, неподвижную, плоскость- подвижную, а за подвижную- ту которая неподвижная.
Тема 1.7. Ускорение точки и его виды
§1. Вектор ускорения точки
Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.
Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t 1 приходит в положение M 1 и имеет скорость v 1 (рис. 1).
Рис.1. Движение точки М с ускорением
Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени ∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:
Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равномерному движению.
Найдем, как располагается вектор по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка.
При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 2, а) векторы и сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна.
При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 2, б) направления векторов и противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна.
Касательное и нормальное и полное ускорения движущейся точки.
Определим ускорение точки, когда её движение задано естественным способом. Подставив выражение (6) в формулу (2), получим:
.
Касательное ускорение точки характеризует изменение вектора её скорости по величине. Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории движущейся точки в ту же сторону, что и вектор скорости точки, когда движение точки ускоренное, и в обратную сторону, когда – замедленное. Величина касательного ускорения равна первой производной по времени от величины скорости точки:
. (7)
Если касательное ускорение точки равно нулю, то точка движется равномерно.
Нормальное ускорение точки характеризует изменение вектора её скорости по направлению. Вектор нормального ускорения направлен по главной нормали к траектории движущейся точки в сторону вогнутости траектории. Величина нормального ускорения равна отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны её траектории:
. (8)
Если нормальное ускорение точки равно нулю, то точка движется прямолинейно.
|
Зная касательное и нормальное ускорение точки, её полное ускорение можно построить (рис. 14), как диагональ прямоугольника со сторонами, равными
t и
n.
Величина полного ускорения точки определяется по теореме Пифагора:
.
Полное ускорение точки характеризует изменение вектора скорости этой точки во времени (и по величине и по направлению).
На рис. 14 полное ускорение точки построено для случая её замедленного движения, так как направление векторов скорости и касательного ускорения противоположно.
Дата добавления: 2015-04-15 ; просмотров: 14 ; Нарушение авторских прав
Тангенциальное, или касательное ускорение
Все тела, которые окружают нас, находятся в постоянном движении. Перемещение в пространстве тел наблюдается на всех масштабных уровнях, начиная с движения элементарных частиц в атомах вещества и заканчивая ускоренным движением галактик во Вселенной. В любом случае процесс движения происходит с ускорением. В данной статье рассмотрим подробно понятие касательного ускорения и приведем формулу, по которой его можно рассчитать.
Кинематические величины
Прежде чем вести разговор о касательном ускорении, рассмотрим, какими величинами принято характеризовать произвольное механическое перемещение тел в пространстве.
Вам будет интересно: Как научить ребенка делению: основные принципы, простые способы решения и советы учителей
В первую очередь — это путь L. Он показывает, какое расстояние в метрах, сантиметрах, километрах и так далее прошло тело за некоторый промежуток времени.
Вторая важная характеристика в кинематике — это скорость тела. В отличие от пути, она является величиной векторной и направлена вдоль траектории движения тела. Скорость определяет быстроту изменения пространственных координат во времени. Формула для ее вычисления имеет вид:
Вам будет интересно: Как сдать досрочный ЕГЭ?
Наконец, третьей важной характеристикой движения тел является ускорение. Согласно определению в физике, ускорение — это величина, которая определяет изменение скорости от времени. Формулу для него можно записать в виде:
Ускорение, как и скорость, тоже является величиной векторной, однако в отличие от нее оно направлено в сторону изменения скорости. Направление ускорения также совпадает с вектором результирующей силы, оказывающей действие на тело.
Траектория движения и ускорение
Многие задачи в физике рассматривают в рамках прямолинейного движения. В этом случае, как правило, не говорят о касательном ускорении точки, а работают с линейным ускорением. Однако если перемещение тела не является линейным, то полное его ускорение может быть разложено на две составляющие:
В случае линейного движения нормальная составляющая равна нулю, поэтому о векторном разложении ускорения не говорят.
Вам будет интересно: Малоизвестные и интересные факты о золоте
Таким образом, траектория движения во многом определяет характер и составные части полного ускорения. Под траекторией движения понимают воображаемую линию в пространстве, вдоль которой тело перемещается. Любая криволинейная траектория приводит к появлению ненулевых компонент ускорения, отмеченных выше.
Определение тангенциального ускорения
Тангенциальное или, как его еще называют, касательное ускорение — это компонента полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Поскольку вдоль траектории направлена также скорость, то вектор тангенциального ускорения совпадает с вектором скорости.
Получение уравнения касательного ускорения
Предположим, что тело движется по некоторой кривой траектории. Тогда его скорость v¯ в выбранной точке можно представить в следующем виде:
Здесь v — модуль вектора v¯, ut¯ — единичный вектор скорости, направленный по касательной к траектории.
Используя математическое определение ускорения, получаем:
a¯ = dv¯/dt = d(v*ut¯)/dt = dv/dt*ut¯ + v*d(ut¯)/dt
При нахождении производной здесь использовалось свойство произведения двух функций. Мы видим, что полное ускорение a¯ в рассматриваемой точке соответствует сумме двух слагаемых. Они являются касательным и нормальным ускорением точки соответственно.
Скажем пару слов о нормальном ускорении. Оно ответственно за изменение вектора скорости, то есть за изменение направления движения тела вдоль кривой. Если явно вычислить значение второго слагаемого, то получится формула для нормального ускорения:
Нормальное ускорение направлено вдоль нормали, восстановленной в данную точку кривой. В случае движения по окружности нормальное ускорение является центростремительным.
Уравнение касательного ускорения at¯ имеет вид:
Это выражение говорит о том, что тангенциальное ускорение соответствует изменению не направления, а модуля скорости v¯ за момент времени. Поскольку тангенциальное ускорение направлено по касательной к рассматриваемой точки траектории, то оно всегда перпендикулярно нормальной компоненте.
Тангенциальное ускорение и модуль полного ускорения
Выше была представлена вся информация, которая позволяет вычислить полное ускорение через касательное и нормальное. Действительно, так как обе компоненты являются взаимно перпендикулярными, то их вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является вектор полного ускорения. Этот факт позволяет записать формулу для модуля полного ускорения в следующем виде:
Угол θ между полным ускорением и тангенциальным можно определить так:
Чем больше тангенциальное ускорение, тем ближе оказываются направления касательного и полного ускорения.
Связь касательного и углового ускорения
Типичной криволинейной траекторией, по которой движутся тела в технике и природе, является окружность. Действительно, перемещение шестерен, лопастей и планет вокруг собственной оси или вокруг своих светил происходит именно по окружности. Движение, соответствующее этой траектории, называется вращением.
Кинематика вращения характеризуется теми же величинами, что кинематика движения по прямой, однако, они имеют угловой характер. Так, для описания вращения используют центральный угол поворота θ, угловые скорость ω и ускорение α. Для этих величин справедливы следующие формулы:
Предположим, что тело совершило один оборот вокруг оси вращения за время t, тогда для скорости угловой можно записать:
Линейная скорость в этом случае будет равна:
Теперь вычислим производную по времени от левой и правой частей равенства, получим:
Таким образом, тангенциальное ускорение и аналогичная угловая величина связаны равенством:
Если предположить, что вращается диск, то тангенциальное ускорение точки при постоянной величине α будет возрастать линейно с увеличением расстояния от этой точки до оси вращения r.
Далее, решим две задачи на применение записанных выше формул.
Определение тангенциального ускорения по известной функции скорости
Известно, что скорость тела, которое перемещается по некоторой кривой траектории, описывается следующей функцией от времени:
Необходимо определить формулу касательного ускорения и найти его значение в момент времени t = 5 секунд.
Сначала запишем формулу для модуля тангенциального ускорения:
То есть для вычисления функции at(t) следует определить производную скорости по времени. Имеем:
at = d(2*t2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3
Подставляя в полученное выражение время t = 5 секунд, приходим к ответу: at = 23 м/с2.
Задача на определение тангенциального ускорения
Известно, что материальная точка начала равноускоренное вращение с нулевого момента времени. Через 10 секунд после начала вращения ее центростремительное ускорение стало равным 20 м/с2. Необходимо определить касательное ускорение точки через 10 секунд, если известно, что радиус вращения равен 1 метр.
Сначала запишем формулу для центростремительного или нормального ускорения ac:
Пользуясь формулой связи между линейной и угловой скоростью, получим:
При равноускоренном движении скорость с угловым ускорением связаны формулой:
Подставляя ω в равенство для ac, получим:
Линейное ускорение через тангенциальное выражается так:
Подставляем последнее равенство в предпоследнее, получаем:
ac = at2/r2*t2*r = at2/r*t2 =>
Последняя формула с учетом данных из условия задачи приводит к ответу: at = 0,447 м/с2.
Что характеризует собой касательное ускорение?
Касательное ускорение существует лишь при неравномерном движении и характеризует изменение скорости по величине.
При каком движении точки равно нулю касательное ускорение, и при каком – нормальное?
Нормальное ускорение равно нулю ( a n = 0 ) в случае прямолинейного движения точки.
Как классифицируются движения точки по ускорениям?
Как определяются проекции ускорения на неподвижные оси декартовых координат?
Проекции ускорения на неподвижные оси равны первым производным по времени от проекций скоростей на соответствующие оси или вторым производным от соответствующих координат точки:
Как определяется модуль и направление ускорения при координатном способе задания движения точки?
Модуль ускорения определяется через проекции:
Направление ускорения a определяется направляющими косинусами:
Что характеризует собой нормальное ускорение?
Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном движении
и характеризует изменение направления скорости.
В какие моменты времени нормальное ускорение в криволинейном движении может обратиться в нуль?
Нормальное ускорение в данный момент времени может быть равно ну-
лю a n = 0 в том случае, когда в данный момент скорость точки обраща-
В какие моменты времени касательное ускорение в неравномерном движении может обратиться в нуль?
рости достигает максимума или минимума.
Если a τ = 0 в течение некоторого промежутка времени, то на этом ин-
тервале времени численная величина скорости постоянна и движение является равномерным криволинейным, а ускорение направлено по главной нормали.
Чем отличается график пути от графика движения точки?
Путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, представляет собой сумму абсолютных значений элементарных перемещений за этот промежуток времени, т. е. линия этого графика непрерывно поднимается вверх независимо от направления движения.
Как по графику движения определить алгебраическую величину скорости точки?
Для определения скорости точки в любой момент времени следует провести касательную к графику движения в соответствующей точке, определить угол α наклона этой касательной к оси t и определить скорость
Как по графику скорости определить алгебраическую величину касательного ускорения точки?
В каком случае полное ускорение точки в течение некоторого промежутка времени может быть равно нулю.
Полное ускорение может быть равно нулю a = 0, когда точка движется относительно выбранной системы отсчёта равномерно и прямолинейно.
Назовите основные виды движения твёрдого тела.
Различают пять видов движения твёрдого тела: поступательное, вращательное, плоскопараллельное (плоское), сферическое и общий случай движения твёрдого тела.
Какое движение твёрдого тела называется поступательным?
Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе.
Все точки твёрдого тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.
Какое движение твёрдого тела называется вращательным?
Вращательным называется такое движение твёрдого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на прямой, называемой осью вращения.
При этом все остальные точки движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.
Как определяется положение вращающегося тел?
Это уравнение представляет собой уравнение вращательного движения тела.
Какая величина называется угловой скоростью?
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота ϕ с те-
чением времени, называется угловой скоростью тела