при каком условии силы натяжения нити по разные стороны блока можно считать одинаковыми

При каком условии силы натяжения нити по разные стороны блока можно считать одинаковыми

Динамика: движения системы связанных тел.

Проецирование сил нескольких объектов.

Действие второго закона Ньютона на тела, которые скреплены нитью

Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую мыслишки в своей головушке освежить.

А для тех, кто все помнит, поехали!

Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому — в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?

Движение происходит только на оси X.

Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону — сторону большей силы.

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T ₁ и Т ₂.

Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.

Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности — вам сюда ).

По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:

Сложим уравнения и выразим ускорение:

Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:

В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.

Вычтем из первого уравнения второе:

Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:

Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.

Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):

(Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)

Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:

Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?

Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.

Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):

Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:

Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:

Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:

Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.

Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.

Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1. Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.

В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:

Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:

Сложим уравнения и сократим на массу:

Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:

А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:

Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное — в другую часть уравнения:

Получили, что отношение масс должно быть таким:

Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:

Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.

У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.

В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.

Источник

Динамика прямолинейного движения связанных тел

Основная задача динамики прямолинейного движения связанных тел

Основной задачей динамики при рассмотрении движения связанных тел в разных системах отсчета является объяснение причин, которые определяют характер движения. При этом возникает необходимость понять, при каких условиях системы тел движутся по прямой линии, в каком случае их траекторией является кривая, в результате действия каких причин тела движутся равномерно, ускоренно или замедленно.

При изучении поведения систем связанных тел со скоростями много меньшими скорости света используют классические законы Ньютона:

Если тела не взаимодействуют с другими телами или действие других тел скомпенсировано, то скорость системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Система перемещается равномерно и прямолинейно.

Силы взаимодействия тел равны по величине, направлены вдоль одной прямой и имеют противоположные направления.

Если не указано иное, то связи, обычно нити, считают нерастяжимыми и невесомыми. В таком случае при рассмотрении движения связанных тел необходимо помнить, что ускорение движения тел в системе одинаково (результат действия связей). Силу натяжения нитей считают равной по всей длине нити.

В некоторых случаях можно выбирать разные системы координат при рассмотрении движения разных тел системы.

Схема решения типовой задачи при движении связанных тел

Примеры задач с решением

Решение. Изобразим силы, которые действуют на тележку и груз на рис.1. и ускорения движения тел системы. Помним, что сил трения нет. Отметим, что ускорения связанных тел (тележки и груза) будут одинаковы, кроме этого силы натяжения нити ($\overline$), действующие на тележку и на груз равны по величине (блок невесомый), но имеют разные направления (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для тележки:

Основной закон динамики для груза имеет вид:

Систему отсчета свяжем с Землей, запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:

В проекциях на эти же оси координат уравнение (1.2) даст одно скалярное уравнение:

Из первого уравнения системы (1.3) и уравнения (1.4) имеем:

Выразим из (1.5) искомое ускорение:

В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:

Систему отсчета свяжем с Землей, выберем направления осей координат (рис.2).

Для решения задачи нам потребуется проекция уравнения (2.1) только на ось Y:

В проекции на ось Y формулы (2.3) получим:

Из (2.4) ускорение тел равно:

Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:

Источник

Задач теоретические знания столь просты и общеизвестны, что не требуют систематического изложения

Главная > Документ

6.4. Невесомые блоки и идеальные нити

Стандартными для школьного курса являются задачи про грузы, подвешенные на невесомых нерастяжимых нитях, перекинутых через способные вращаться без трения невесомые блоки. При решении таких задач важно понимать, где именно используются указанные в условии приближения (равенство нулю масс нитей и блоков и не растяжимость нитей). Если масса нити равна нулю, то сумма сил, приложенных к любому ее отрезку со стороны других тел обязана равняться нулю (иначе участок нити приобретет бесконечное ускорение). Т.о. груз, висящий на невесомой, перекинутой через блок нити, воздействует на блок с той же по величине силой, с которой нить действует на груз. Условие невесомости блока приводит к тому, что силы натяжения нити по разные стороны блока обязаны равняться друг другу ( иначе блок закрутится с бесконечным ускорением). Т.о. силы натяжения нити, действующие на грузы, подвешенные по разные стороны блока, оказываются одинаковыми.

Пример 6.3. Неподвижный блок

Невесомая нерастяжимая нить перекинута через неподвижный невесомый блок, способный вращаться без трения. К концам нити прикреплены два груза, массами M и m, начальное расстояние между которыми равно H. В начальный момент грузы покоились. Через какое время после того, как грузы отпустили, они окажутся на одной высоте?

При решении этой задачи следует учесть, что до момента встречи каждый из грузов проходит расстояние, равное половине начального. Кроме того, встреча грузов может состояться лишь в том случае, если более тяжелый окажется подвешенным выше, чем более легкий.

Время до встречи грузов.

Необходимое условия встречи грузов.

Ответ: если , грузы окажутся на одной высоте через время в противном случае грузы вообще не встретятся.

6.5. Комбинированные задачи

Опыт проведения вступительных экзаменов показывает, что наибольшие трудности у абитуриентов вызывают «комбинированные» задачи, решение которых требует знаний из различных разделов физики. На данном этапе на примере механики полезно познакомиться с задачами такого типа, требующих использования различных идей, уже обсуждавшихся в нашем курсе.

Пример 6.4. «Комбинированная задача»

На неподвижном клине, наклонная плоскость которого составляет угол a с горизонтом, установлен невесомый блок, способный вращаться без трения. К перекинутой через него нити привязаны два груза массами m и M, один из которых находится на наклонной плоскости, а другой висит, касаясь вертикальной стенки клина. При этом удерживающая его нить расположена строго вертикально. С каким ускорением начнут двигаться грузы, если их отпустить? Коэффициент трения грузов о поверхность клина одинаков и считается заданным.

При решении этой задачи весьма часто встречается ошибка, связанная с вычислением силы трения, действующей на груз M. На самом деле величина этой силы равна нулю из-за того, что сила реакции опоры, действующая на груз со стороны стенки клина отсутствует (иначе нить не была бы расположена вертикально). Вторая проблема состоит в выборе правильного направления действия на груз m силы трения. Очевидно, что эта сила действует в направлении, противоположном тому, куда система «стремится» сдвинуться. Для выбора этого направления целесообразно решить вспомогательную задачу о движении грузов в отсутствии сил трения

Уравнения движения грузов в отсутствии сил трения. За положительное выбрано направление движения, при котором груз M опускается.

Ускорение системы в случае отсутствия трения.

Условие, при котором сила трения, действующая на груз m, направлена влево и вниз.

7.1. Определения

Импульсом материальной точки называется произведение ее массы на скорость (7.1).

Импульсом системы материальных точек называется сумма (разумеется, векторная) импульсов всех материальных точек, входящих в систему (7.2).

Определение импульса материальной точки.

Определение импульса системы материальных точек.

6.2. Импульсная формулировка второго закона Ньютона

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту материальную точку. Приведенное утверждение иногда называют импульсной формулировкой второго закона Ньютона.

Импульсная формулировка второго закона Ньютона может быть легко доказана, сходя из второго закона Ньютона, в предположении постоянства массы материальной точки (7.3).

Из импульсной формулировки непосредственно следует закон сохранения импульса материальной точки:

Если сумма действующих на материальную точку сил равна нулю, то импульс материальной точки сохраняется во времени.

Доказательство импульсной формулировки второго закона Ньютона.

Пример 7.1. Вес кобры

Во время подъема кобры на хвост силы тяжести и реакции опоры не уравновешивают друг друга. Именно возникающая при этом разность сил обеспечивает подъем кобры, который, очевидно, сопровождается постепенным возрастанием ее импульса, направленного вертикально вверх. Т.о. для решения задачи целесообразно использовать импульсную формулировку второго закона Ньютона.

Импульсная формулировка второго закона ньютона для встающей на хвост кобры.

Проекция (6.4) на ось, направленную вертикально вверх.

Зависимость от времени массы вертикально расположенной части тела кобры и окончательное выражение для веса встающей на хвост змеи.

Ответ: вес встающей на хвост кобры равен

7.3. Скорость изменения импульса системы материальных точек

Скорость изменения импульса системы материальных точек равна сумме скоростей изменения импульса каждой точки системы (7.7). В свою очередь, скорость изменения импульса каждой из материальных точек равна сумме приложенных к ней сил. Эти силы можно разить на две группы: внешние силы (действуют на объекты системы со стороны тел, не принадлежащих рассматриваемой системе) и внутренние (действуют между телами, составляющими рассматриваемую систему). Сумма внутренних сил в системе оказывается равной нулю, поскольку в соответствии с третьим законом Ньютона оказываются равными нулю суммы сил, возникающих при взаимодействиях в каждой паре материальных точек системы.

В результате оказывается, что скорость изменения полного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на все элементы системы.

Системы, в которых не действуют внешние силы, называются замкнутыми.

В замкнутых системах выполняется закон сохранения импульса:

В замкнутых системах полный импульс сохраняется во времени.

Выражение для скорости изменения импульса системы через скорости изменения импульсов составляющих систему частиц.

Скорость изменения им пульса системы равна сумме сил, действующих на все объекты системы.

Пример 7.2. Удачный выстрел

При решении сформулированной задачи часто ошибочно используют закон сохранения импульса, который выполняется только в замкнутых системах. Взрывающееся ядро не может представлять замкнутую систему, поскольку на его движение существенное влияние оказывает Земля. Для решения задачи следует использовать теорему о скорости изменения импульса системы (7.8). С ее помощью легко показать, что во времени сохраняется не весь импульс, а только его проекция на горизонтальную ось (7.9).

В рассматриваемой системе сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось

Х-проекция импульса ядра с момента выстрела до момента взрыва не изменяется во времени (т.к. сила тяжести направлена перпендикулярно вниз)

Расстояние от пушки до точки падения второго осколка.

Ответ: второй осколок упадет на расстоянии от пушки.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы «космический корабль + выброшенная порция топлива»

Приращение скорости космического корабля.

Пример 7.3. Прыжки солдат с платформы

На неподвижной платформе, способной без трения катиться по горизонтальной поверхности, располагается N одинаковых солдат массой m каждый, способных бегать по платформе с одинаковой скоростью v (скорость относительно платформы!).Солдаты бегут все в одном направлении и спрыгивают с платформы, не изменяя своей скорости в момент прыжка. В каком из двух случаев скорость платформы окажется большей: если солдаты прыгали одновременно или «один за другим».

7.5. Короткие удары о шероховатые поверхности

Теорема о скорости изменения импульса системы тел позволяет решать задачи описания движения, сопровождающегося короткими ударами о поверхности при наличии сил сухого трения. При таких ударах скорость движущегося тела изменяется за очень короткий промежуток времени, что, согласно импульсной формулировке второго закона, приводит к возникновению очень больших сил реакции опоры, в свою очередь приводящих к резкому увеличению сил трения в момент удара. Все перечисленные процессы могут быть учтены при решении задач и не требуют использования высшей математики (см. пример 7.4).

Пример 7.4. Пуля, влетающая в ящик с песком

На горизонтальной шероховатой поверхности (коэффициент трения дан) покоится ящик с песком массой M. В ящик врезается пуля, летевшая со скоростью v под углом a к горизонту. На сколько сдвинется ящик, если пуля застревает в песке, а время торможения в пули очень мало?

Задача распадается на две части: анализ процессов, происходящих при торможении поли в ящике, анализ движения ящика по поверхности под воздействием сил трения.

Теорема о скорости изменения импульса системы, записанная для конкретной сформулированной в задаче ситуации. В правой части равенства учтены только внешние силы.

Проекция (7.16) на горизонтальную и вертикальную оси координат.

Сила трения, возникающая во время торможения пули в ящике определяется силой реакции опоры, существенно превосходящей по величине силу тяжести.

Импульс, полученный ящиком к моменту остановки в нем пули.

Скорость ящика после остановки в нем пули и оценка пути, проходимого ящиком до этого момента.

Вторая часть задачи о торможении ящика силой трения настолько проста, что должна быть легко решена Вами самостоятельно.

Источник