при каком значении x пересекаются графики функций

Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Запишем формулы функций.

Вычтем из первого уравнения второе.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Формула функции имеет вид:

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Степенные функции. Необходимая теория

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

График функции проходит через точку Это значит, что

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

16. На рисунке изображён график функции

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Источник

Как решать задачи на квадратичную функцию

В предыдущем уроке мы подробно разобрали, как построить параболу. В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.

Как найти нули квадратичной функции

Подставим в исходную функцию вместо « y » ноль и решим полученное квадратное уравнение.

0 = x 2 − 3
x 2 − 3 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 = ±√ 3

Как найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение

Чтобы найти при каких значениях « x » квадратичная функция принимает заданное числовое значение, нужно:

При каких значениях « x » функция принимает значение « −3 ».

Подставим в исходную функцию вместо « y = −3 » и найдем « x ».

−3 = x 2 − x − 3
x 2 − x − 3 = −3
x 2 − x − 3 + 3 = 0
x 2 − x = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

Найти координаты точек пересечения параболы « y = x 2 » и прямой « y = 3 − 2x ».

Приравняем правые части функций и решим полученное уравнение относительно « x ».

x 2 = 3 − 2x
x 2 − 3 + 2x = 0
x 2 + 2x − 3 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в полученные числовые значения « x », чтобы найти координаты « y » точек пересечения.

1) x = 3
y = 3 − 2x
y(3) = 3 − 2 · 3 = 3 − 6 = −3
(·) A (3; −3) — первая точка пересечения.

2) x = −1
y = 3 − 2x
y(−1) = 3 − 2 · (−1) = 3 + 2 = 5
(·) B (−1; 5) — вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Сначала определим точки пересечения функции с осью « Ox ». На графике функции эти точки выглядят так:

Как видно на рисунке выше, координата « y » точек пересечения с осью « Ox » равна нулю, поэтому подставим « y = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем их координаты по оси « Ox ».

0 = x 2 −3x + 2
x 2 −3x + 2 = 0
x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью « Oy ».

Как видно на рисунке выше, координата « x » точки пересечения с осью « Oy » равна нулю.

Подставим « x = 0 » в исходную функцию « y = x 2 −3x + 2 » и найдем координату точки по оси « Oy ».

y(0) = 0 2 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Как определить при каких значениях x функция принимает положительные или отрицательные значения

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить: При каких значениях « x » функция принимает 1) положительные значения; значения.

Проведем через точки, где график функции пересекает ось « Ox » прямые.

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает « x » в каждой из выделенных областей.

Ответ: при « x » и « x > 2 » функция принимает отрицательные значения; при функция принимает положительные значения.

Источник