пропорции какой класс в школе

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.

Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.

№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Найдите неизвестный член пропорции.

Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

Перечень рассматриваемых вопросов:

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

Сделаем краткую запись условия.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

Сделаем краткую запись условия.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Прямая и обратная пропорциональность

Перечень рассматриваемых вопросов:

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пусть ручка стоит пять рублей, составим таблицу для нахождения стоимости от одной до семи ручек.

Из таблицы видно, что пять ручек стоят в пять раз больше, чем одна ручка. Говорят, что стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Цена двух ручек 10 руб. Сколько нужно заплатить за пятнадцать таких же ручек?

Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству ручек.

Запишем кратко условие задачи:

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции:

Ответ: 15 ручек стоят 75 рублей.

На 600 рублей хотят купить несколько одинаковых коробок конфет. Зависимость количества купленных коробок конфет от цены одной коробки задана в таблице:

С увеличением цены за одну коробку в несколько раз количество коробок конфет, которые можно купить, уменьшается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Грузовая машина, двигаясь со скоростью 60 километров в час, доезжает от одного города до другого за 3 часа. За сколько часов это же расстояние преодолеет легковой автомобиль, если его скорость 90 километров в час?

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Запишем кратко условие задачи:

Ответ: легковой автомобиль преодолеет расстояние между городами за 2 часа.

Свойство прямо пропорциональных величин.

Отношение прямо пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.

Величину этого отношения называют коэффициентом прямой пропорциональности.

5 – коэффициент прямой пропорциональности.

Свойство обратно пропорциональных величин: произведение обратно пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.

100 руб. · 6 коробок = 200 руб. · 3 коробки = 600 руб. · 1 коробку = 600

60 км/ч · 3 ч = 90 · 2 ч = 180

Между двумя городами расстояние равно 32 км. На карте отрезок между ними равен 2 см. Найдите масштаб карты.

Расстояние на местности и отрезок на карте – прямо пропорциональная зависимость.

Обозначим х см на местности отрезок в 1 см на карте.

Разбор заданий тренировочного модуля

Для решения задачи нужно понять какая происходит зависимость между величинами. Зависимость между массой и объёмом прямо пропорциональная. Составим пропорцию и найдём её неизвестный член.

№ 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.

Зависимость между расходом угля и периодом, на который этого угля хватит, – обратно пропорциональная. То есть чем больше мы сжигаем угля в день, тем на меньшее количество дней нам этого угля хватит.

Источник

Методическая разработка урока математики «Отношения и пропорции». 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Класс: 6 класс.

Цели урока:

образовательная:

развивающая:

воспитывающая:

Планируемые результаты:

Предметные:

Знать/понимать понятия: что такое пропорция, определение пропорции, основное свойство пропорции, что такое масштаб.

Личностные: проявлять интерес к креативной деятельности, активности при подготовке творческих отчетов (сообщения, презентации, проекты и др.)

Метапредметные (Универсальные учебные действия):

Тип урока: Обобщение и систематизация знаний (урок применения знаний, умений и навыков).

Методы обучения: наглядные, практические, словесные, репродуктивные.

Оборудование: учебник, раздаточный материал (карточки).

Межпредметные связи: география, технология.

Ход урока

№ этапа

Содержание урока

Организационный момент (мотивация учебной деятельности)

Актуализация опорных знаний

Применение знаний, умений и навыков в решении задач. Физминутка

Практическое применение темы

Инструктаж домашнего задания

Подведение итогов. Рефлексия

I. Организационный момент (мотивация учебной деятельности)

Сегодня я предлагаю вам самостоятельно определить тему урока и сформулировать цели, которых мы должны достичь к концу урока. Для этого давайте повторим пройденный материал.

II. Актуализация опорных знаний. (Математическая разминка)

Задание: Выбрать задания из параграфа «Отношения и пропорции».
1. Сократить дробь:

2. Решить задачу: За 6ч. поезд прошел 480км. Какой путь он пройдет за 2ч.?
3. Вычислить 8 :

4. Решить задачу: 5 маляров покрасят забор за 8дней. За сколько дней его покрасят 10 маляров?

5. Длина отрезка на карте 3 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 1000000

6. Составьте пропорцию, используя верное равенство

7. 4 + 3

8. На одной ферме 800 птиц, а на другой на 30% больше. Сколько птиц на второй ферме? Сколько птиц на двух фермах?

2. Учитель: Итак, по какой теме было большинство заданий разминки?

(Все задания по теме «Отношения и пропорции». Делается вывод, что тема данного урока «Отношения и пропорции»).

Учитель: Тема «Пропорции» рассматривается только в 6 классе, но данный материал используется и в старшей школе, даже при сдаче ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи по данной теме. (Задача из ЕГЭ!)

Задача. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Пропорции способны объединить между собой изготовление сплавов и малярные работы, вычерчивание карт и рассматривание микробов под микроскопом.

А для того чтобы увидеть, как математика помогает с помощью пропорции решать задачи по химии, работать с чертежами и географическими картами, мы проведем с вами небольшое исследование.

А кто сможет сформулировать цели нашего урока? (Ребята формулируют цели урока. Учитель старается подвести ребят к тому, что основной целью урока является показать практическую значимость пропорции в жизни человека).

Сообщаются цели и задачи урока.

III. Применение знаний, умений и навыков в решении задач

Учитель: Итак, для того чтобы нам более оперативно провести исследование, давайте еще раз повторим понятия связанные с отношением и пропорцией:

1. Что называется отношением? (…частное двух чисел)

2. Дайте определение пропорции (…равенство двух отношений).

3. Как называются члены пропорции? (…крайние и средние).

4. Каким основным свойством обладают члены пропорции? (…произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции).

5. Какие бывают пропорциональности? (…прямая и обратная).

6. Какие две величины называют прямо пропорциональными? (привести примеры прямо пропорциональных величин).

7. Какие две величины называют обратно пропорциональными?

8. Указать вид пропорциональной зависимости:

А) За 6ч. поезд прошел 480км. Какой путь он пройдет за 2ч.?
Б) 5 маляров покрасят забор за 8 дней. За сколько дней его покрасят 10 маляров?

9. Что называется масштабом? (…масштабом карты называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности).

(2 ученика записывают решение задач на доске, остальные учащиеся в тетрадях), затем сверяют решение. Оценивают работу учащихся, работающих у доски.

Учитель: Хорошо, правила вы знаете.

Математический диктант – физминутка

Найди ошибку.

1. Можно ли найти отношение таких величин:

А) 8 м и 4 кг;
Б) 5 ч и 2 ч;
В) 3 кг и 3ц?

2. Верна ли пропорция: если aв=ср, то a : с= р : в

3. Верна ли пропорция: 11:2=3:5

4. Верна ли пропорция: 2:9=4:18

5. Задача на прямую пропорциональную зависимость.

Из 21кг хлопкового семени получили 5,1кг масла. Сколько масла получат из 7кг семени?

6. Задача на обратную пропорциональную зависимость.

Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистят площадку за 210 минут. А за какое время эту работу выполнят 7 бульдозеров?

Учитель: Молодцы, ребята. А теперь давайте применим ваши знания на практике.

(два ученика работают у доски). Взаимопроверка.

Учитель: Молодцы! С такими знаниями вы можете применять полученные знания в жизни.

А где еще можно применить пропорцию? (В задачах на тему «масштаб»)

Что называют масштабом карты? Где применяется масштаб?

Закончите фразу:

а) если длина отрезка СК на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности, то масштаб этой карты ( 1: 20 000)

б) если отрезок АВ = 1 см изображён на карте с масштабом 1 : 10 000, то на местности его длина…(100м)

IV. Практическое применение темы.

Задача для девочек. Длина изделия на выкройке 75см. Вычислить масштаб чертежа, если на нём длина ночной сорочки будет равна 15см.

Задача для мальчиков. Длина детали 30мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали 90мм?

Самоконтроль.

V. Самостоятельная работа по решению задач (проверка знаний)

1 вариант

1. Чтобы приготовить 4 порции картофельной запеканки нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько потребуется картофеля чтобы приготовить 12 порций запеканки?

2. Масштаб карты 1:1000000. Расстояние между городами 3 км. Каким будет это расстояние на карте?

3. Расстояние между пунктами на карте равно 8 см, а на местности 6 км. Какую длину будет иметь на этой карте отрезок в 9км?

2 вариант

1. Дорога до дачи на автомашине занимает 2 ч. при скорости 105 км/ч. Сколько потребуется времени, чтобы Добраться до дачи на велосипеде, если скорость велосипедиста 15 км/ч.

2. Масштаб карты 1:100. Каково расстояние между городами в действительности, если на карте оно отображается отрезком длиной 7,2 см.

3. Расстояние между пунктами на карте равно 8см, а на местности 160км. Каков масштаб этой карты?

VI. Инструктаж домашнего задания

Учитель: Наш урок подходит к концу. Дома вы самостоятельно можете его продолжить и решить задачи на применение пропорции. Для тех, кто хочет творчески подойти к теме «Отношения и пропорции», предлагаю найти вам примеры пословиц и поговорок на пропорциональную зависимость.

Например: Как аукнется, так и откликнется

Домашнее задание:

VII. Подведение итогов урока, рефлексия

— А где еще можно применить пропорцию?

— Сможете ли вы на практике применить полученные знания?

— Какие затруднения вы испытывали при решении задач?

(Учащиеся рассказывают о том, где они смогут применить полученные знания, какие задания вызвали затруднения.)

И в завершение урока, я хочу, чтобы каждый из вас дал оценку своей работе на уроке. Нарисуйте у себя в тетрадке лестницу успеха, состоящую из пяти ступенек, отметьте ту ступеньку которая соответствует вашему результату работы на уроке.

Источник

Урок в 6-м классе по теме «Пропорции. Решение задач»

Разделы: Математика

Цели:

Задачи:

1. Организация начала урока

Цель: подготовка учащихся к работе на уроке, создание благожелательной рабочей атмосферы.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку. Раскрытие общей цели урока.

– Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому со­вету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. И данное высказывание будет эпиграфом- девизом нашего учебного занятия.
Сегодня у нас урок по теме «Пропорции. Решение задач».
Повторяем, приводим в систему изученные приемы решения задач, а также проверяем умения использовать свойства пропорций при решении некоторых типов уравнений.
Перед вами стоит цель – показать свои знания и умения при решении задач с помощью пропорции. В конце урока вас ожидает увлекательное путешествие в мир гармонии и красоты. В путь!

2. Проверка домашнего задания

Цель: проверка правильности и осознанности выполнения домашнего задания учащимися, устранение найденных пробелов в знаниях и навыках учащихся.

Трое учащихся выполняют индивидуальную работу по карточкам [2] (их тетради с домашней работой учитель проверит во время выполнения самостоятельной работы в середине урока). Карточки сдаются на проверку сильным учащимся.

Карточка № 1

1. Заполните пропуски * числами так, чтобы пропорции были верными:

2. Сформулируйте определение пропорции.

Даны три целых числа: 2; 6 и 8. Используя только этот набор чисел, замените пропуски * в записях для получения верных пропорций:

3. Сформулируйте основное свойство пропорции.

Карточка № 2

1. Решите задачу с помощью пропорции: « Из 7,5 кг свежих грибов получается 1,5 нити сушеных грибов. Сколько нитей сушеных грибов получится из 17,5 кг свежих грибов?»

2. Укажите обратно пропорциональную зависимость, связывающую скорость, время и расстояние. Запишите в виде формулы.

Карточка № 3

2. Укажите прямо пропорциональную зависимость, связывающую скорость, время и расстояние. Запишите в виде формулы.

Остальные учащиеся проверяют решения домашних задач № 811 и № 812 [1] с опорой на готовые схемы, записанные заранее за крыльями доски. При проверке требуется объяснить, какой тип пропорциональной зависимости между величинами присутствует в данной задаче и как это используется при составлении уравнения.

№ 811

Тип зависимости: прямая пропорциональная зависимость, т.к. чем больше берут яблок, тем больше пюре можно получить. Составим уравнение:

№ 812

Тип зависимости: обратная пропорциональность, т.к. чем больше маляров работает, тем меньше дней им понадобится, чтобы выполнить заказ.

Устный счет

Найти значение дробного выражения

Что интересного заметили? (Во втором и четвертом выражении получается . Эти отношения оказались равны, значит, можем составить из них верную пропорцию)

3. Актуализация опорных знаний. Подготовка к активной учебно —познавательной деятельности на основном этапе урока

Цель: подготовка учащихся к доминирующему виду учебно—познавательной активности, формирование познавательных мотивов

Однажды археологи, ведя раскопки в Индии, на стене одной из пещер нашли следующую запись: | 10 | 3 | 40 | 12

4. Обобщение полученных знаний

а) б) [3]

– Обратите внимание, что последнее уравнение удобно решать так: поменяем местами средние и крайние члены .

Решим уравнение: ; 2х + 2 = 5х — 40 ; 3х = 42; х = 14.

Физкультминутка

– Где может пригодиться наше умение находить неизвестный член пропорции? (При решении задач)
– Перед вами схемы к задачам (Схемы на альбомных листах прикрепляются на доску)

5. Контроль и самопроверка знаний

Цель: проверка сформированности умений и навыков, выявление недостатков и причин их появления, побуждение учащихся к самообразованию.

Самостоятельная работа (метод программируемого контроля)

Решите задачу и выберите верный ответ.

1. За 4 минуты токарь изготавливает 18 деталей. Сколько деталей он может изготовить за 10 минут?

2. Две одинаковые трубы наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполнят бассейн три такие же трубы?

3. В семенах подсолнуха содержится масло. Из 60 г семян получилась 24 г масла. Сколько надо взять семян, чтобы получить 1 кг масла?

1. С помощью трёх подъёмных кранов баржу можно разгрузить за 10 часов. За какое время смогут разгрузить баржу 5 кранов?

2. Машинистка за 3 часа напечатала 16 страниц. Сколько страниц она напечатает за 9 часов?

3. Мороженое «пломбир» содержит 16 % сахара, что составляет 40 г. Сколько весит мороженое?

Проверка самостоятельной работы (самопроверка)

1 вариант: БАБ
2 вариант: БВА

6. Углубление и расширение знаний

Мир пропорций огромен и разнообразен. Но королевой этого мира, конечно же, является «золотая пропорция». Позвольте вас с ней познакомить. (Приложение 1)

7. Подведение итогов урока

Цель: проанализировать степень успешности овладения знаниями, выявить недостатки и наметить пути их устранения.

– Итак, наш урок близится к концу. Давайте вспомним, какие цели мы ставили в начале урока. Удалось ли их достичь? Что запомнилось на уроке?

8. Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению

Цель: дать домашнее задание, которое дало бы возможность ребятам реализовать себя творчески, применить полученные знания в новой ситуации.
– Подобрать, а лучше придумать самим, задачи с использованием прямой и обратной пропорциональных зависимостей. Оформить красочно содержание и решение задач на альбомном листе.
– Спасибо за работу!

Список литературы:

Источник