растекание спектра в дпф что означает в каком случае возникает меры для уменьшения эффекта
РАССМОТРЕНИЕ МОДЕЛИ SIMULINK (gibs_sergeev)
РАСТЕКАНИЕ СПЕКТРА (SPECTRUM LEAKAGE)
При ДПФ предполагается, что последовательность отсчётов анализируемого сигнала является периодически продолженной вперёд и назад во времени. При этом, если значения начальных и конечных отсчётов сигнала сильно различаются, при периодическом повторении на стыках сегментов возникают скачки, из-за которых спектр сигнала расширяется. Это явление и есть растекание спектра. Растекание спектра проявляется в том, что при вычислении ДПФ синусоиды с частотой, не совпадающей ни с одной из частот анализа, мы вместо узкого пика получаем сложный спектр, в котором в общем случае могут содержаться все возможные частоты. Причина растекания спектра состоит в том, что ДПФ неявно подразумевает периодическое продолжение анализируемого фрагмента сигнала. Если на рассматриваемом промежутке укладывается целое число периодов синусоиды (это эквивалентно условию совпадения ее частоты с одной из частот анализа), периодически продолженный сигнал также будет непрерывной синусоидой, в спектре которой содержится единственная частота. Если же число периодов на интервале анализа не является целым, при периодическом продолжении сигнала непрерывность синусоиды окажется нарушенной и спектр «растечется» (рисунок 1).
Код для получения этого рисунка:
w=1.5; % частота синусоиды
s = cos(w*t); % аналоговый сигнал
sd = cos(w*td); % дискретный сигнал
hold on, stem(td,sd,’filled’), hold off
Для борьбы с растеканием спектра используются весовые, или оконные, функции (window). При этом сигнал перед вычислением ДПФ умножается на некоторую функцию, спадающую от середины к краям. Это позволяет ослабить влияние разрывов,
возникающих на стыках фрагментов сигнала при его периодическом продолжении. На рис. 2 показаны сигнал и модуль его ДПФ при использовании окна Ханна (функция hann). Видно, что использование весовой функции позволило существенно ослабить побочные спектральные составляющие — правда, за счет расширения спектральных пиков. Последнее, к сожалению, неизбежно.
РАССМОТРЕНИЕ МОДЕЛИ SIMULINK (gibs_sergeev)
| 2) |
| 4) |
Если анализируемая последовательность содержит целое число периодов гармонического сигнала (то есть если отношение NωT/2π является целым числом), то периодически продолженный сигнал представляет собой гармонические колебания (без скачков), а вычисленное ДПФ содержит лишь два спектральных отсчета, отличных от нуля.
Таким образом, аналогично спектру непрерывного гармонического сигнала, ДПФ отличается от нуля всего для двух значений n. Однако если отношение NωT/2π не является целым числом, спектр оказывается значительно более богатым. Этому можно дать простое объяснение: ведь в данном случае периодически продолженная последовательность уже не может являться набором отсчетов непрерывной синусоиды. Поэтому, в полном соответствии со свойствами преобразования Фурье, в спектре появляются дополнительные составляющие.
1) В первом случае видно, что многообразие спектра отсутствует, это связано с тем, что число периодов на интервале анализа было взято равным целому числу, а также была правильно подобрана частота.
2) Во втором случае было взято нецелое число периодов гармонического сигнала, вследствие чего видно растекание спектра на графике модуля ДПФ (правый график).
Причиной растекания спектра является именно периодическое продолжение анализируемого сигнала. Спектр одиночного фрагмента дискретной синусоиды является периодической непрерывной функцией частоты. Эта функция имеет лепестковую структуру независимо от того, целое или нецелое число периодов укладывается в анализируемом сегменте. Однако дискретный ряд частот, на которых вычисляется ДПФ, может быть по-разному расположен относительно лепестков спектральной функции. В случае целого числа периодов все анализируемые частоты (кроме двух) попадают как раз на границы между лепестками. При нецелом числе периодов такого не происходит.
3) В третьем случае, как и в первом, было выбрано целое число периодов. В случае целого числа периодов все анализируемые частоты (кроме двух) попадают как раз на границы между лепестками.
4) При нецелом числе периодов такого не происходит.
Спектральный анализ ограниченных во времени сигналов. Эффект растекания спектра
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
Пусть имеется два синусоидальных сигнала с частотами Гц и Гц.
В данном разделе мы проанализируем эффект растекания спектра в частотной и временно́й областях при ограничении длительности сигнала.
Из рисунков 2 и 3 следует, что ДВПФ сигналов и имеют схожую форму, но сдвинуты по частоте. При этом в ДПФ сигнала не наблюдается растекания спектра ввиду того, что частота выбрана так, что дискретизация ДВПФ данного сигнала была произведена в нулях ДВПФ. Дискретизация ДВПФ сигнала производилась на боковых лепестках из-за сдвига частоты относительно на полбина ДПФ.
Таким образом, эффект растекания возникает если на длине выборки сигнала не укладывается целое число периодов повторения сигнала. Очевидно, что обеспечить целое число периодов сигнала на ограниченной выборке можно лишь в некторых частных случаях. В общем случае для полосовых сигналов это невозможно. При этом встает вопрос: а насколько вреден эффект растекания?
В данном параграфе мы рассмотрим негативные эффекты которые возникают в результате растекания ДПФ.
Эффект 1. Искажение амплитуды спектрального отсчета. Гребешковые искажения спектра. На рисунке 1 были показаны амплитудные спектры сигналов и и мы наблюдали уменьшение максимального значения амплитудного спектра сигнала Далее мы показали, что значение амплитуд спектральных отсчетов зависят от соотношения частоты сигнала и частотной сетки дискретизации ДВПФ.
На рисунке приведены три амплитудных спектра, соответствующие частотам Гц. Можно видеть, что зависимость максимального значения амплитудного спектра от частоты исходного сигнала, вызванные растеканием спектра, имеют форму гребешка. Таким образом, искажение максимального значения амплитудного спектра, вызванные растеканием спектральных отсчетов носит название гребешковых искажений [1].
Гребешковые искажения вносят потери на обработку сигнала, потому что максимальная амплитуда спектрального отсчета может быть уменьшена до 0.635 ( дБ по мощности) от истинного значения. Однако суммарная мощность остается постоянной, потому что недостающая мощность растекается по соседним спектральным отсчетам.
На рисунке 10а частоты гармоник и выбраны таким образом, что эффекта растекания спектра не наблюдается. В результате оценки спектральной плотности мощности наблюдается 2 гармоники на частотах Гц и Гц. На рисунке 10б гармоника с частотой Гц боковыми лепестками маскируют гармонику с частотой Гц. Таким образом динамический диапазон спектрального анализа сокращен до 34 дБ за счёт эффекта растекания спектра данный пример наглядно иллюстрирует проблемы уменьшение динамического диапазона спектрального анализа в условиях растекания спектра.
Главный вывод который мы должны вынести из рассмотрения эффекта растекания при помощи вышеизложенных примеров заключается в том, что каждый отсчет ДПФ несет информацию не об амплитуде сигнала соответствующей частоты, но о мощности сигнала в некоторой полосе в окрестности частоты, соответствующей гармоники ДПФ.
При этом растекание спектра приводит к взаимному влиянию спектральных отсчетов ДПФ друг на друга, искажая амплитуды гармоник и маскируя сигналы под боковыми лепестками других гармоник.
В следующих разделах мы будем анализировать эффект растекания более детально и рассмотрим пути уменьшения влияния эффекта растекания спектра при цифровом спектральном анализе.
Функции оконного сглаживания
DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
В предыдущем разделе мы анализировали эффект растекания спектра дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и говорили, что он возникает в результате дискретизации дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ) ограниченного во времени сигнала.
Таким образом, ДВПФ комплексного гармонического сигнала полностью описывается ДВПФ оконной функции, которая используется для ограничения длительности сигнала.
В предыдущем разделе мы рассмотрели эффект растекания ДПФ, который возникает, когда частота гармонического сигнала не совпадает с частотами дискретизации ДВПФ. Мы отмечали, что эффект растекания спектра приводит к гребешковым искажениям амплитуды гармонического сигнала, а также к уменьшению динамического диапазона спектрального анализа ввиду маскирования слабых сигналов под боковыми лепестками мощных гармоник при растекании спектра последних.
Можно видеть, что уровень боковых лепестков спектра окна Хемминга значительно ниже чем у прямоугольного окна. Таким образом, использовав сглаженные окна, можно получить увеличение динамического диапазона спектрального анализа, и также уменьшить уровень гребешковых искажений.
Если для вывода спектра на график необходимо разместить в центре, то можно представить частоту от до и произвести перестановку спектральных компонент, как это показано на рисунке 2б.
Можно многими способами сгладить прямоугольное окно, и таким образом, получить множество семейств различных оконных функций. Поэтому нам надо рассмотреть параметры оконных функций, которые так или иначе влияют на качество спектрального анализа. Имея набор параметров мы сможем сравнить окна между собой и получить объективный подход для выбора того или иного окна для практического применения.
Еще раз заметим, что когерентное усиление относится только к случаю, когда частота гармонического сигнала попадает на бин ДПФ и эффекта растекания не наблюдается.
Для исключения зависимости от длины выборки можно нормировать уровень гребешковых искажений к уровню когерентного усиления. Тогда
На рисунке 3 показаны частотные параметры спектральной плотности энергии оконных функций.
Значение частоты на рисунке 3 приведено в единицах спектральных отсчетов ДПФ (бин ДПФ).
На графиках можно видеть значение когерентного усиления (в данном случае усиление не нормировано к значению усиления прямоугольного окна). Относительно можно выделить уровень максимального бокового лепестка оконной функции.
Тогда можно заключить, что
Поскольку эквивалентная шумовая полоса сглаженных окон выше чем прямоугольного окна, то это означает более высокий уровень шума на выходе.
Это можно пояснить так. Поскольку прямоугольное окно обладает максимальным когерентным усилением и является согласованным фильтром для гармонического сигнала на частоте бина ДПФ, то оно обеспечивает максимальное отношение сигнал–шум на выходе. Любое другое сглаженное окно будет обеспечивать худшее отношение сигнал–шум для гармонического сигнала на частоте бина ДПФ.
Заметим, что при построении графиков, разница в когерентном усилении оконных функций была скомпенсирована и выровнена с усилением прямоугольного окна. В результате значение гармоник на частоте 100 Гц для всех окон равно 20 дБ.
Можно видеть, что прямоугольное окно обеспечивает максимальное отношение сигнал–шум дБ для сигнала на частоте 100 Гц, но при этом наблюдаются максимальные гребешковые искажения дБ.
При использовании окна Хемминга величина гребешковых искажений уменьшилась до значения дБ, однако отношение сигнал–шум также ухудшилось на величину дБ.
Для окна Блэкмана-Харриса гребешковые искажения составляют дБ, в то время как отношение сигнал–шум ухудшается на величину дБ.
Данный пример был рассчитан с использованием библиотеки DSPL–2.0. Исходный код программы scalloping_loss.c расчета данных для построения графиков рисунка 5 приведён в следующем листинге.
Оконные функции используются в различных задачах спектрального анализа, а также при синтезе цифровых КИХ-фильтров. В задачах спектрального анализа мы стремимся получить более узкий основной лепесток спектра оконной функции, в то время как в задачах синтеза КИХ-фильтров часто требуется обеспечить линейность ФЧХ, что требует симметрии оконной функции во временно́й области.
Для удовлетворения требований спектрального анализа и задач синтеза линейнофазовых КИХ-фильтров различают периодические и симметричные оконные функции. Периодические оконные функции обладают лучшими частотными свойствами, но не имеют свойства временно́й симметрии. Пример периодических и симметричных треугольных окон Бартлетта показан на рисунке 6 для четной и нечетной длин окна.
Красным цветом показан один период оконной функции при расчете ДПФ, синим — периодические повторения, которые возникают при дискретизации ДВПФ оконной функции.
Прямоугольное окно имеет единичные значения для всех :
Растекание спектра.
При ДПФ мы предполагали (умалчивая), что последовательность отсчетов анализируемого сигнала является периодически продолженной вперед и назад во времени. При этом, если значения начальных и конечных отсчетов сигнала сильно отличаются, при периодическом повторении на стыках сегментов возникают скачки, из-за которых спектр сигнал расширяется.
Это явление называется растеканием спектра (spectrum leanage). Проиллюстрируем на примере сигнала
Если анализируемая последовательность содержит точно целое число периодов гармонического сигнала, т.е. если 
— целое число, то гармонический сигнал s(t) продолжается без скачков, а если подставить в формулу ДПФ получим
Таким образом ДПФ сигнала s(k) в этом случае содержит только 2 отсчета, отличных от нуля. Но если не целое, то спектр становится значительно более богатым.
Таким образом подчеркнем еще раз, что причиной растекания спектра является именно периодическая продолжительность сигнала.
Можно рассуждать иначе: считаем сигнал не периодически продолженным, но тогда у него есть ряд спектральных составляющих, они попадают в боковые лепестки ДПФ, но не точно.
Для уменьшения растекания используют окна или взвешивание.
Для уменьшения явления растекания спектра при ДПФ применяют весовые функции (weighting function), которые также называются окнами (windows). В этом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию w(k), которая должна спадать к краям сегмента. Тогда формула ДПФ принимает вид:
Роль весовой функции можно рассматривать с разных точек зрения. Сначала проанализируем ситуацию во временной области. Если мы используем весовую функцию, которая имеет максимум в середине (при k=N/2) и плавно спадает к краям (k=0, k=N-1), это приведет к ослаблению эффектов, связанных со скачками сигнала при периодическом повторении последовательности, т.е. к уменьшению растекания спектра.
Тот же вывод можно сделать и в частотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует свертке спектров сигнала и окна. Это приводит к тому, что линии содержащиеся в спектре несколько расширятся. Однако становится возможным уменьшить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью весовой функции.
Если трактовать ДПФ как фильтрацию, при использовании весовой функции w(k) получаются частотные характеристики вида
Выбирая весовую функцию (окно) определенным образом, можно уменьшить уровень боковых лепестков частотных характеристик фильтров, соответствующих отдельным каналам ДПФ. Платой за это является расширение центрального лепестка частотной характеристики («резиновость» АЧХ).
Принципы спектрального анализа.
Спектральный статистический анализ – это метод обработки сигналов, который позволяет выявить частотный состав сигнала, т.е. распределение энергии сигнала внутри какого-то частотного диапазона (в общем случае, в интервале частот от 0 до ∞). Задачами спектрального анализа являются:
1) обнаружение гармонических составляющих в анализируемом сигнале;
2) оценивание их параметров.
Для решения указанных задач требуются высокая разрешающая способность по частоте и высокая статистическая точность оценивания параметров. Эти требования принципиально противоречивы.
Пусть последовательность x(n) представляет собой дискретный случайный процесс. Обозначим через Е истинное значение некоторого параметра случайного процесса x(n). В результате обработки отсчетов случайного процесса вычисляется не действительное значение параметра Е, а некоторая его статистическая оценка 
. Оценки также являются случайными величинами.
Смещением оценки называется математическое ожидание отклонения оценки от ее действительного значения Е: 
Оценка называется смещенной, если 
Квадрат среднегеометрической ошибки оценивания
где D – дисперсия оценки.
Оценка, которая сходится по вероятности к оцениваемой характеристике при бесконечном увеличении длины выборки N анализируемого процесса, называется состоятельной, т.е.
,
р – вероятность того, что модуль отклонения оценки от действительного значения оцениваемого параметра будет меньше сколь угодно малого наперед заданного числа ε0. Для выполнения этого требования достаточно, чтобы среднеквадратичная ошибка стремилась к нулю при N→ ∞. Оценка будет состоятельной, если при N→ ∞ ее дисперсия стремится к нулю и одна является несмещенной. При оценивании параметров случайных процессов, в том числе спектральных параметров, надо стремится к получению состоятельных оценок.
Методы спектрального анализа делятся на:
— непараметрические, где используется только информация, заключенная в отсчетах сигнала, без каких-либо дополнительных предположений (их иначе называют классическими),
— параметрические, которые подразумевают наличие некоторой математической модели анализируемого случайного процесса.
Спектральные характеристики случайных процессов.
К каждой реализации в принципе можно применить преобразование Фурье. Для каждой реалтзации бдут различные спектры. Нас же интересуют усредненные характеристики случайных процессов.
Спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр го математического ожидания, т.е. спектр его детерминированной составляющей. Для центрированных процессов mx(t)=0 и 
Почему? Фазы спектральных составляющих в реализации реал.-х случайны.
Что не зависит от фазы? Мощность. Можно рассм. СП мощности случ. процесса.
Возьмем реал. x(t) ограничив ее временем [-T/2, T/2]. Энергия ЕТ по равенству Парсеваля
Разделим на Т, получим среднюю мощность
При Т→ ∞ средняя мощность стремится к некоторому пределу
Особенности компьютерной томографии с контрастным усилением
КТ с контрастированием – исследование, предполагающее использование рентгеновского излучения в минимальных дозах, а также сопровождающееся введением специального вещества для усиления контрастности здоровых и патологически измененных тканей.
КТ с контрастом выполняется в случаях, когда нужно очень четко разделять нормальные и аномальные структуры в человеческом организме. Такая дифференцировка достигается посредством усиления сигнала от больных тканей. Эффект контрастирования при КТ основывается на том, что большинство опухолей, особенно, злокачественных, кровоснабжается лучше, чем здоровые ткани. Поэтому контрастное вещество будет накапливаться в них, давая картину отличия от прочих тканей. Кроме того, контраст необходим для изучения состояния сосудов – вен, артерий. На снимках КТ контраст будет выделяться белым цветом, что позволит хорошо изучить этот участок.
КТ с контрастом и онкология
В большинстве случаев процедура рекомендуется при подозрении на онкологический процесс, либо для дифференцирования доброкачественной опухоли со злокачественной. Так, рекомендуется КТ с контрастным веществом при:
Томография с контрастированием позволит различить банальную и часто встречающуюся кисту почки от почечно-клеточного рака или доброкачественной липомы, ангиомы. При изучении состояния печени КТ поможет дифференцировать цирроз печени, доброкачественные опухоли и гепатоцеллюлярный рак.
Применяется КТ с контрастным усилением при лимфомах – для отличия их от другого ракового заболевания (лимфогранулематоз) или от простого лимфаденита. Контрастирование позволит установить степень ракового заболевания, его распространенность, поражение регионарных лимфоузлов, наличие метастазов. Часто назначают КТ и при малигнизации доброкачественных опухолей, которая будет заметна по ряду специфических признаков (васкуляризация, увеличение в размерах и т.д.).
Компьютерная томография с контрастным усилением весьма информативна при диагностике внутри просветных тромбов, а также тромбированных аневризм, зон сужения тромбами аорты. Также контраст позволит детально изучить сосудистые мальформации, в том числе – перед оперативным вмешательством по поводу их удаления. Обследование даст полную картину при истончении стенок вен, варикозе глубоких вен и при тромбофлебите, а также при атеросклерозе артерий.
Компьютерная томография с контрастированием применяется при заболеваниях таких зон организма:
До введения препарата врач обязательно уточняет наличие некоторых заболеваний и состояний у пациента, которые могут стать противопоказаниями к процедуре.
До обследования пациент должен сдать ряд лабораторных анализов
(биохимия крови: мочевина (2,4-6,4 ммоль/л) и креатинин (мужчины старше 15 лет — 80-150 мкмоль/л, старше 60 лет — 71-115; женщины старше 18 лет — 53-97, старше 50 лет — 53-106).
При повышении указанных показателей проведение контрастирования не проводится. Количество контрастного вещества рассчитывается исходя из веса человека.
Есть разные способы введения контраста, основные из них таковы:
Противопоказаниями при КТ с конрастными веществами, содержащими йодсодержащие препараты являются:
Строгим противопоказанием к любой КТ является беременность, ведь исследование предполагает использование рентгеновского излучения. Относительное противопоказание – грудное вскармливание: после процедуры в течение 1-2 суток следует исключать кормление грудью. У томографа есть ограничение по весу пациента, и при выполнении КТ у людей с массой тела более 110-120 кг могут возникнуть сложности.
Обычно рекомендуется не выполнять процедуру чаще, чем раз в 6 месяцев. Это ограничение связано не с применением контраста, а с получением лучевой нагрузки во время КТ. Тем не менее, эта нагрузка минимальна, и по жизненным показаниям КТ может быть проведена чаще. Следует помнить, что у ряда пациентов (1-3%) наблюдаются патологические реакции на введение контрастного вещества, что также может ограничить частоту выполнения процедуры. К таким реакциям относятся: