Как находить общий делитель дроби

Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.

Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.

240 = 2222 3 5 165 = 3 5 11.

Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.

Найдем НОД(2520; 4620).

2 520 = 2 2 2 3 3 5 7 4 620 = 2 2 3 5 7 11.

Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357 рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.

Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).

Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.

Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:

2 520 = 2 3 3 2 5 1 7 1

Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:

Найдем НОД(2520; 4620):

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Нахождение НОД по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

Решение

Решение

Решение

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Решение

Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Решение

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Решение

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и — n имеют одинаковые делители.

Решение

Решение

Источник

Наибольший общий делитель (НОД), свойства и формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.

Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, 18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Ответ: НОД (24, 18) = 6

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Источник

Наибольший общий делитель

Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.

Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так:

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД

НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Второй способ записи НОД

На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

Источник

Наибольший общий делитель

Содержание

Наибольший общий делитель (сокращённо НОД) необходим для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Также он тесно связан с другим математическим понятием — наименьшим общим кратным.

Знакомство с наибольшим общим делителем

Наибольший общий делитель заданных чисел (НОД) – это наибольшее число, на которое все заданные числа делятся без остатка

При вычислениях нам помогут признаки деления на число. Они есть у многих чисел. Нам понадобятся вот эти четыре, если их запомнить, они станут нашими помощниками.

Признаки деления по последнему числу:

Кроме того, существуют признаки деления и для других чисел, некоторые из них очень интересны:

Также нам нужно, чтобы число делилось без остатка. Если в итоге деления получается остаток, то такое число не является множителем данного числа.

Первый способ нахождения НОД

Существует три способа нахождения НОД. Эти способы имеют очень много общего между собой, но мы разберём их все.

Первый способ заключается в нахождении всех возможных делителей для числа.

Теперь запишем все наши делители. Вот что получилось:

Второй способ нахождения НОД

Второй и третий способы базируются на том, что мы раскладываем числа на простые множители.

Для нахождения НОД нескольких чисел данные числа нужно разложить на множители и определить общие для обоих чисел. Если такой множитель один, он и будет являться наибольшим общим делителем. Если общих множителей несколько, то наибольшим общим делителем будет являться произведение этих множителей

Простой множитель — это простое число.

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа — единицу и само себя.

При нахождении НОД этим способом мы будем записывать делители и промежуточные результаты деления в столбик. Так они остаются у нас на виду, и мы не запутаемся. Сначала пишем наше число, потом ставим вертикальную черту и напротив числа пишем первый делитель – то есть число, на которое собираемся разделить наше число.

Записываем частное под цифрой «12». Почему там? Потому что теперь мы будем делить уже «6», и так, пока будет возможно делить без остатка.

Получается вот такая запись:

Частные, которые получились слева, нам уже не нужны. Нам нужны те, которые справа, так как именно там у нас записаны делители. Но постойте, нам же были нужны множители?

Это и есть множители. Мы разобрали число на них, как конструктор разбирают на детальки, и из них же можем сложить. Давайте проверим:

Теперь самое интересное. Находим среди множителей обоих чисел одинаковые числа и перемножаем их между собой. То, что получится, и будет НОД – наибольший общий делитель для обоих чисел.

Второй способ наиболее распространён, потому что позволяет удобно записывать промежуточные результаты деления и делители. При записи первым способом мы записываем только делители и легко «потерять» какие-то из них, особенно если их много и они повторяются.

Третий способ нахождения НОД

Третий способ похож на второй. Мы также пишем числа в столбик, но затем не выделяем общие, а берём множители одного числа и вычёркиваем из них те, которые не встречаются во втором числе.

Этот способ не сильно отличается от второго (да и от первого тоже): мы точно таким же образом ищем общие множители, только не выделяем общие, а вычёркиваем те, которые общими не являются.

Записывают НОД так:

Теперь, когда мы знаем НОД, мы можем легко сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД. У нас получится так:

Также мы можем использовать НОД для нахождения НОК (наименьшего общего кратного).

Источник