Как находить сумму углов выпуклого многоугольника
Сумма углов многоугольника
(о сумме углов выпуклого многоугольника)
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).
(n — количество сторон многоугольника).
Другой вариант формулировки этой теоремы:
Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).
1-й способ
Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.
Соединим точку O с вершинами многоугольника.
Получили n треугольников.
Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.
Так как сумма углов при вершине O составляет 360º
то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.
Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна
2-й способ
Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.
Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.
Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.
Следовательно, сумма углов многоугольника
Что и требовалось доказать.
4 Comments
Нужно либо поменять название статьи, либо добавить в текст информацию о невыпуклых многоугольниках.
А так сайт оказался полезным, спасибо!
Ольга, спасибо. Подкорректирую в июне.
Очень хороший сайт! Давно им пользуюсь. Спасибо за Ваш труд!
Какой многоугольник называется выпуклым
Что такое выпуклый многогольник
Выпуклым называют многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящий через две его соседние вершины.
Или же другой вариант определения:
Выпуклым называют многоугольник, в котором соблюдается следующее условие: если выбрать две произвольных точки, лежащих внутри фигуры, и соединить их отрезком, то все точки этого отрезка так же будут лежать внутри многоугольника.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Примеры
Многоугольник \(М_1\) — выпуклый, а \(М_2\) — не выпуклый.
Сумма углов выпуклого многоугольника
\(A_1A_2A_3. A_n\) — выпуклый многоугольник. Найдем сумму его углов:
\(\angle A_nA_1A_2,\;\angle A_1A_2A_3,\;\angle A_
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
\(\angle OAD\) — внешний угол многоугольника ABCDE при вершине А. (смежный с \(\angle BAE\) )
\(180^\circ-A_1+180^\circ-A_2+. +180^\circ-A_n=n\cdot180^\circ-(A_1+A_2+. +A_n)=n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=n\cdot180^\circ-n\cdot180^\circ+2\cdot180^\circ=360^\circ\)
Углы многоугольника
Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.
Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.
Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.
Сумма внутренних углов
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.
где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.
Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:
Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:
Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.
Сумма внешних углов
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).
где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).
Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:
Урок геометрии по теме «Сумма углов многоугольника». 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;
Великий русский ученый, гордость Земли Русской,
Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.
1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)
– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
2. Постановка проблемы (выход на тему урока).
Устная фронтальная работа.
Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)
– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.
В случае затруднения учитель задает вопросы:
– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)
Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.
Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.
3. Решение проблемы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.
Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?
– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)
– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.
Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.
По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)
– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.
Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)
– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?
(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)
– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)
Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника
| чертеж | n – количество вершин многоугольника | Количество диагоналей, проведенных из одной вершины | Количество полученных треугольников |
 | 4 | ||
 | 5 | ||
 | 6 | ||
 | 7 | ||
| n |
– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.
Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.
После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно провести n – 3 диагонали, (так как диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом получим n – 2 треугольника.
Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).
– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.
Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?
– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов многоугольника? (На 360 0 )
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?
– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)
– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)
Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.
(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)
4. Применение полученных знаний.
Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.
Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)
Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.
Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.
После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)
Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0. )
А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.
Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:
1. Обозначить внутренние углы многоугольника через α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для суммы внутренних углов многоугольника.
Доказательство записывается на доске:
(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360
Далее демонстрируется видео: как можно проиллюстрировать этот факт с помощью картонной модели. (Слайд 13)
5. Закрепление изученного материала. Решение задач.
В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?
Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2), то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.
Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.
Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)
Решаем полученное уравнение
180n – 360 = 240 + 150n – 450
180n – 150n = 240 + 360 – 450
6. Подведение итогов урока.
Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.
Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?
Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.
Чья работа в группе была самой результативной?
7. Домашнее задание:
В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.
2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.
Сумма углов n угольника
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Сумма углов n-угольника
Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n-2).
Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).
Описание слайда:
Второй способ доказательства
Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n-2).
Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A1…An. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360о. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).
Описание слайда:
Упражнение 1
Чему равна сумма углов выпуклого: а) 4-угольника; б) 5-угольника; в) 6-угольника?
Ответ: а) 360о;
б) 540о;
в) 720о.
Описание слайда:
Упражнение 2
Чему равен внешний угол правильного: а) 3-угольника; б) 4-угольника; в) 5-угольника; г) 6-угольника?
Ответ: а) 120о;
б) 90о;
в) 72о;
г) 60о.
Описание слайда:
Описание слайда:
Упражнение 4
Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника?
Ответ: а) 60о;
б) 90о;
в) 108о;
г) 120о;
д) 135о;
е) 144о;
ж) 150о.
Описание слайда:
Упражнение 5
Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300о. Найдите четвертый угол.
Ответ: 60о.
Описание слайда:
Упражнение 6
Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
Ответ: 36о, 72о, 108o, 144o.
Описание слайда:
Описание слайда:
Упражнение 8
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900o. Сколько у него сторон?
Ответ: 7.
Описание слайда:
Упражнение 9
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36o; б) 24o?
Ответ: а) 10;
б) 15.
Описание слайда:
Упражнение 10
Чему равна сумма углов невыпуклого четырехугольника ABCD?
Ответ: 360о.
Описание слайда:
Упражнение 11*
Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5 пятиугольной звездочки, изображенной на рисунке.
Ответ: 180о.
Описание слайда:
Упражнение 12*
Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник?
Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов.
Ответ. 3.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Цилиндры и цилиндрические поверхности
Введение в логику
Портреты учёных математиков
Прямая пропорциональность
Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда
Пропорциональность величин
Стандартный вид многочлена
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5422513 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Хабаровске родители смогут заходить в школы и детсады только по QR-коду
Время чтения: 1 минута
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Поставщики интернета для школ будут работать с российским оборудованием
Время чтения: 1 минута
Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.