Как находить векторы в геометрии
Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами
Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.
Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:
1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.
2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.
Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.
Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)
А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.
Более того, по материалам сайта создана книга!
. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.
Понятие вектора. Свободный вектор
Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец: 
В данном случае началом отрезка является точка 
, концом отрезка – точка 
. Сам вектор обозначен через 
. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор 
, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором 
. У такого вектора конец и начало совпадают.
. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.
Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении 
и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: 
, но допустима и запись 
, которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: 
, подразумевая тем самым, что это вектор.
То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор 
можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой 
.
Длиной или модулем ненулевого вектора 
называется длина отрезка 
. Длина нулевого вектора 
равна нулю. Логично.
Длина вектора обозначается знаком модуля: 
, 
Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.
То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.
Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки: 
Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)
Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.
Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.
Действия с векторами. Коллинеарность векторов
В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.
Правило сложения векторов по правилу треугольников
Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора 
и 
: 
Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор 
от конца вектора 
: 
Суммой векторов 
и 
является вектор 
. Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору 
, а затем по вектору 
. Тогда сумма векторов 
представляет собой вектор результирующего пути 
с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.
Кстати, если вектор 
отложить от начала вектора 
, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.
Умножение вектора на число
Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».
Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.
Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: 
, при этом возможна детализация: 
(векторы сонаправлены) или 
(векторы направлены противоположно).
Произведением ненулевого вектора 
на число 
является такой вектор 
, длина которого равна 
, причём векторы 
и 
сонаправлены при 
и противоположно направлены при 
.
Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка: 
Разбираемся более детально:
1) Направление. Если множитель 
отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.
2) Длина. Если множитель заключен в пределах 
или 
, то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора 
в два раза меньше длины вектора 
. Если множитель 
по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в 
раз.
3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, 
. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.
4) Векторы 
сонаправлены. Векторы 
и 
также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.
Какие векторы являются равными?
Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».
С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы 
и 
:
Векторы 
и 
ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.
Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: 
.
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: 
. Координатные векторы нельзя переставлять местами.
Любой вектор 
плоскости единственным образом выражается в виде: 
, где 
– числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение 
называется разложением вектора 
по базису 
.
! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!
Начнем с первой буквы алфавита: 
. По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: 
и 
;
2) сложение векторов по правилу треугольника: 
.
А теперь мысленно отложите вектор 
от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение 
будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы 
не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.
Векторы 
, 
иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор 
сонаправлен с базисным вектором 
, вектор 
направлен противоположно по отношению к базисному вектору 
. У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так: 
А базисные векторы, к слову, так: 
(по сути, они выражаются сами через себя).
И, наконец: 
, 
. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: 
, 
. Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.
Рассмотренное разложение вида 
иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:
Или со знаком равенства: 
Сами базисные векторы записываются так: 
и 
То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.
Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору 
, строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору 
. Действительно, 
и 
– это ведь два разных вектора.
С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат: 
Перед вами ортонормированный базис 
трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы 
данного базиса попарно ортогональны: 
и 
. Ось 
наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.
Любой вектор 
трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису 
: 
, где 
– координаты вектора 
(числа) в данном базисе.
Пример с картинки: 
. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: 
(красная стрелка), 
(зеленая стрелка) и 
(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: 
. Вектор суммы 
начинается в исходной точке отправления (начало вектора 
) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора 
).
Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор 
от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение 
«останется при нём».
Аналогично плоскому случаю, помимо записи 
широко используются версии со скобками: 
либо 
.
Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
;
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
;
вектор 
(дотошно 
) – запишем 
.
Базисные векторы записываются следующим образом: 
Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.
А мы переходим к практической части:
Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах
Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.
Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.
Как найти вектор по двум точкам?
Если даны две точки плоскости 
и 
, то вектор 
имеет следующие координаты: 
Если даны две точки пространства 
и 
, то вектор 
имеет следующие координаты: 
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора 
. Формулы в конце урока.
Даны две точки плоскости 
и 
. Найти координаты вектора 
Решение: по соответствующей формуле: 
Как вариант, можно было использовать следующую запись: 
Эстеты решат и так: 
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ: 
По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь: 
Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису 
, в данном случае 
. Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через ). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости 
.
Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: 
, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.
Дамы и господа, набиваем руку:
а) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
б) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
в) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
г) Даны точки 
. Найти векторы 
.
Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.
Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)
Как найти длину отрезка?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Если даны две точки пространства 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: 
и 
, но более стандартен первый вариант
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Решение: по соответствующей формуле: 
Ответ: 
Для наглядности выполню чертёж 
Отрезок 
– это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ 
можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат 
и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: 
. Конечно, оставить ответ в виде 
не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи: 
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например 
. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: 
. Да, разделилось нацело, таким образом: 
. А может быть, число 
ещё раз удастся разделить на 4? 
. Таким образом: 
. У числа 
последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: 
. В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени: 
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Решение и ответ в конце урока.
Как найти длину вектора?
Если дан вектор плоскости 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Если дан вектор пространства 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.
Даны точки 
и 
. Найти длину вектора 
.
Я взял те же точки, что и в Примере 3.
Решение: Сначала найдём вектор 
: 
По формуле вычислим длину вектора: 
Ответ: 
Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.
Выполним чертеж к задаче: 
В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через .
А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка 
равна длине вектора 
. Так же очевидно, что длина вектора 
будет такой же. По итогу: 
Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Вместо применения формулы 
, поступаем так:
1) Находим вектор 
.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка 
равна длине вектора 
: 
Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.
Вышесказанное справедливо и для пространственного случая
а) Даны точки 
и 
. Найти длину вектора 
.
б) Даны векторы 
, 
, 
и 
. Найти их длины.
Решения и ответы в конце урока.
Действия с векторами в координатах
В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:
1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости 
и 
. Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: 
. Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: 
. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор 
и найдём сумму трёх векторов: 
Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы 
, то их суммой является вектор 
.
2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор 
умножить на число 
, нужно каждую координату данного вектора умножить на число 
: 
.
Для пространственного вектора 
правило такое же: 
Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.
Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов 
, 
но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.
Даны векторы 
и 
. Найти 
и 
Решение чисто аналитическое: 
Ответ: 
Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе 
, то графическое решение задачи будет таким: 
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)
Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.
Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):
Даны векторы 
и 
. Найти 
и 
Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем: 
Ответ: 
И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:
Даны векторы 
. Найти 
и 
Это задача для самостоятельного решения.
Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:
Это, так скажем, вектор-минимум студента =)
Любите векторы, и векторы полюбят вас!
Задание: 
, 
Пример 2: Решение:
а) 
б) 
в) 
г) 
Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле: 
и 
Ответ:
Пример 6: 
и 
а) Решение: найдём вектор 
: 
Вычислим длину вектора: 
Ответ: 
б) Решение:
Вычислим длины векторов: 
Пример 9: Решение: 
Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки: 
Ответ: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам