какой отрезок называется высотой треугольника сколько высот имеет треугольник
Высота треугольника
В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке BF — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.
Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).
Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника (позднее рассмотрим ее свойства).
AC — высота, проведенная из вершины С к стороне AB.
AB — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.
AK — высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А — ортоцентр).
В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.
Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.
AK — высота, проведенная к стороне BC.
BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.
CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.
Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:
Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.
теория по математике 📈 планиметрия
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.
Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.
Виды треугольников по углам
Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.
Виды треугольников по сторонам
Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.
| Разносторонний | Равнобедренный | Равносторонний |
| Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС. | Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. | Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС. |
 |  |  |
Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника
Медиана
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.
По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.
Биссектриса
Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.
В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.
По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.
Высота
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.
На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.
По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.
Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.
Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.
Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Составим отношение сторон:
Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.
Составим отношение сторон:
Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.
Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Способы нахождения высоты треугольника: теорема и формула
Определение высоты треугольника
Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.
Треугольником является фигура, относящаяся к классу простых фигур, которая образована тремя точками, находящимися не на одной прямой, и соединенными между собой тремя отрезками.
Треугольники могут быть:
Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.
Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из угла треугольника вниз, на противоположную сторону.
В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.
В зависимости от типа треугольника высота может:
Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.
Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:
Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.
Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:
A × H A ÷ B × H B ÷ C × H C = 1 B C ÷ 1 A C ÷ 1 A B
Выглядеть графически это будет так:
Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.
Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:
где S — уже известная площадь треугольника,
Через длины всех сторон:
h = 2 p p × a p × b p × c a
где a, b и c — стороны треугольника,
p — его полупериметр.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через длину прилежащей стороны и синус угла:
s i n a — синус угла прилежащей стороны.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через стороны и радиус описанной окружности.
Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:
где b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота,
R — радиус описанной окружности.
Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.
Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:
где C 1 и С 2 — длины отрезков, образованных на гипотенузе, проведенной к ней высотой.
Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.
Нахождение высоты равнобедренного треугольника через основание и боковые стороны
Равнобедренным треугольником называют треугольник, имеющий одинаковые по длине катеты, которые образуют равные углы с основанием. В таком треугольнике высота будет опускаться ровно в середину основания, образуя с ним прямой угол.
Помимо высоты, проведенная линия будет являться также осью симметрии, биссектрисой вершинного угла и медианой.
Формула для нахождения высоты в этом случае:
b — равные боковые стороны.
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.
Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.
Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:
где а — сторона равностороннего треугольника.
Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:
а — сторона правильного равностороннего треугольника.
Нахождение высоты прямоугольного треугольника через его катеты
Прямоугольным считается треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90°. Высота, опущенная из такого угла, падает на гипотенузу треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника, которые пропорциональны по отношению к большому треугольнику и друг к другу.
Важно отметить, что две другие высоты будут совпадать с катетами треугольника.
Найти высоту в прямоугольном треугольнике, можно через два его катета (a и b) и гипотенузу (c).
Причем гипотенуза также легко находится через катеты по теореме Пифагора:
Расчет высоты идет следующим образом:
где a, b и c — вышеупомянутые стороны треугольника.
Треугольник и его виды. Элементы треугольника
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами. Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.
Виды треугольников по углам:
Виды треугольников по сторонам:
Элементы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.
Основные свойства треугольников
Внутренние углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите отношение внешних углов треугольника.
Чему равна градусная мера одного из углов прямоугольного треугольника?
Если в треугольнике один угол больше суммы двух других углов, то он
Если в треугольнике один внешний угол острый, то этот треугольник
Периметр равнобедренного треугольника равен 11 см, а основание равно 3 см. Найдите боковую сторону треугольника.