при каком значении альфа векторы ортогональны

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны
рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

Источник

1.6.7. Как проверить векторы на ортогональность?

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю, что векторы при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныи при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныортогональны тогда и только тогда, когда при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны. В координатах данный факт запишется следующим образом:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны(для векторов плоскости);
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны(для векторов пространства).

Задача 24

а) Проверить ортогональность векторов: при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныи при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, если при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны.

Решение:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Для этого вычислим их скалярное произведение:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, следовательно, при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости. Отрезки обычные, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны
и вычислим их скалярное произведение:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, следовательно, векторы при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныи при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныне перпендикулярны, а значит, не перпендикулярны и отрезки при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны.

Ответ: а) при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, б) отрезки при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныне перпендикулярны.

Задача 25

Даны 4 точки пространства при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныи при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Выяснить будут ли перпендикулярными следующие прямые:
а) при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, б) при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны.

Это задача для самостоятельного решения. По условию требуется проверить перпендикулярность прямых, а решаем снова через векторы – по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно: из ортогональности векторов автоматически следует перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых.

Мощь аналитической геометрии – в векторах

Так, в рассмотренных задачах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета.

Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачку, которая время от времени встречается на практике:

Задача 26

При каком значении при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональнывекторы при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныбудут ортогональны?

Решение: по условию требуется найти такое значение параметра при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны, чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныортогональны тогда и только тогда, когда при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны.

Дело за малым, составим уравнение:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Решаем простейшее линейное уравнение:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Ответ: при при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Здесь легко выполнить проверку, в исходные векторы при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныподставляем полученное значение параметра при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны
и находим скалярное произведение:
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны– да, действительно, при при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональнывекторы при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныортогональны, что и требовалось проверить.

Простенький пример для самостоятельного решения:

Задача 27

При каком значении при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныскалярное произведение векторов при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныбудет равно –2?
Едем дальше:

Источник

Ортогональность векторов: онлайн-калькулятор

Ортогональные (перпендикулярные) векторы образуют между собой прямой угол. 2 вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно 0. Теперь помощь в автоматических расчетах и доказательстве вы можете получить онлайн.

Вычислять, ортогональны ли векторы, понадобится школьникам и студентам при решении плоских и пространственных задач. Для получения точного ответа воспользуйтесь нашим сервисом. Решение доступно без регистрации и оплаты.

Задайте размерность векторов. Число меняется кнопками «+», «-».
при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны
Вариант 1.

Проверка ортогональности векторов калькулятором

К основным условиям ортогональности векторов добавляется правило. При умножении любого из двух векторов на произвольное вещественное число их ортогональность не нарушается. Каждый из признаков можно проверить самостоятельно. Для этого потребуется:

Если ответ нужен срочно или надо свериться с вычислениями, чтобы найти ошибку, отправьте задание на расчет. Благодаря неограниченному количеству доступных проверок подготовка к занятиям станет более качественной. Закрепленный на практике материал быстрее усваивается. Учащийся сможет в дальнейшем применять изученный алгоритм в подобных задачах.

Формула в калькуляторе определяет, при каком значении векторы ортогональны. Расчет происходит по заданным вами условиям – через координаты или точки. Вы получаете готовое решение с последовательными вычислениями и ответом.

В разделе с векторами вы найдете другие калькуляторы, которые позволят так же быстро справиться с доказательством их свойств. Действуйте по инструкции и получайте правильные ответы. Если тема не усваивается, обратитесь к нам и получите недорогой урок от опытного преподавателя.

Источник

Линейная алгебра для исследователей данных

«Наша [Ирвинга Капланского и Пола Халмоша] общая философия в отношении линейной алгебры такова: мы думаем в безбазисных терминах, пишем в безбазисных терминах, но когда доходит до серьезного дела, мы запираемся в офисе и вовсю считаем с помощью матриц».

Для многих начинающих исследователей данных линейная алгебра становится камнем преткновения на пути к достижению мастерства в выбранной ими профессии.

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныkdnuggets

В этой статье я попытался собрать основы линейной алгебры, необходимые в повседневной работе специалистам по машинному обучению и анализу данных.

Произведения векторов

Для двух векторов x, y ∈ ℝⁿ их скалярным или внутренним произведением xy

называется следующее вещественное число:

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Как можно видеть, скалярное произведение является особым частным случаем произведения матриц. Также заметим, что всегда справедливо тождество

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Для двух векторов x ∈ ℝᵐ, y ∈ ℝⁿ (не обязательно одной размерности) также можно определить внешнее произведение xyᵀ ∈ ℝᵐˣⁿ. Это матрица, значения элементов которой определяются следующим образом: (xy)ᵢⱼ = xy, то есть

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Следом квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ, обозначаемым tr(A) (или просто trA), называют сумму элементов на ее главной диагонали:

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

След обладает следующими свойствами:

Для любой матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ: trA = trAᵀ.

Для любой матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ и любого числа t ∈ ℝ: tr(tA) = t trA.

Для любых матриц A,B, таких, что их произведение AB является квадратной матрицей: trAB = trBA.

Для любых матриц A,B,C, таких, что их произведение ABC является квадратной матрицей: trABC = trBCA = trCAB (и так далее — данное свойство справедливо для любого числа матриц).

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныTimoElliott

Нормы

Норму ∥x∥ вектора x можно неформально определить как меру «длины» вектора. Например, часто используется евклидова норма, или норма l₂:

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Более формальное определение таково: нормой называется любая функция f : ℝn → ℝ, удовлетворяющая четырем условиям:

Для всех векторов x ∈ ℝⁿ: f(x) ≥ 0 (неотрицательность).

f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 (положительная определенность).

Для любых вектора x ∈ ℝⁿ и числа t ∈ ℝ: f(tx) = |t|f(x) (однородность).

Для любых векторов x, y ∈ ℝⁿ: f(x + y) ≤ f(x) + f(y) (неравенство треугольника)

Другими примерами норм являются норма l

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Все три представленные выше нормы являются примерами норм семейства lp, параметризуемых вещественным числом p ≥ 1 и определяемых как

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Нормы также могут быть определены для матриц, например норма Фробениуса:

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Линейная независимость и ранг

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

линейно зависимы, так как x₃ = −2xₙ + x₂.

Столбцовым рангом матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ называют число элементов в максимальном подмножестве ее столбцов, являющемся линейно независимым. Упрощая, говорят, что столбцовый ранг — это число линейно независимых столбцов A. Аналогично строчным рангом матрицы является число ее строк, составляющих максимальное линейно независимое множество.

Оказывается (здесь мы не будем это доказывать), что для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ столбцовый ранг равен строчному, поэтому оба этих числа называют просто рангом A и обозначают rank(A) или rk(A); встречаются также обозначения rang(A), rg(A) и просто r(A). Вот некоторые основные свойства ранга:

Для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) ≤ min(m,n). Если rank(A) = min(m,n), то A называют матрицей полного ранга.

Для любой матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ: rank(A) = rank(Aᵀ).

Для любых матриц A ∈ ℝᵐˣⁿ, Bn×p: rank(AB) ≤ min(rank(A),rank(B)).

Ортогональные матрицы

Два вектора x, yⁿ называются ортогональными, если xy = 0. Вектор xⁿ называется нормированным, если ||x||₂ = 1. Квадратная м

атрица Uⁿˣⁿ называется ортогональной, если все ее столбцы ортогональны друг другу и нормированы (в этом случае столбцы называют ортонормированными). Заметим, что понятие ортогональности имеет разный смысл для векторов и матриц.

Непосредственно из определений ортогональности и нормированности следует, что

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Другими словами, результатом транспонирования ортогональной матрицы является матрица, обратная исходной. Заметим, что если U не является квадратной матрицей (U ∈ ℝᵐˣⁿ, n при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

для любых вектора x ∈ ℝⁿ и ортогональной матрицы U ∈ ℝⁿˣⁿ.

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональныTimoElliott

Область значений и нуль-пространство матрицы

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Областью значений R(A) (или пространством столбцов) матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ называется линейная оболочка ее столбцов. Другими словами,

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Нуль-пространством, или ядром матрицы A ∈ ℝᵐˣⁿ (обозначаемым N(A) или ker A), называют множество всех векторов, которые при умножении на A обращаются в нуль, то есть

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Квадратичные формы и положительно полуопределенные матрицы

Для квадратной матрицы A ∈ ℝⁿˣⁿ и вектора xквадратичной формой называется скалярное значение xAx. Распишем это выражение подробно:

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется положительно определенной, если для всех ненулевых векторов xⁿ справедливо неравенство xAx > 0. Обычно это обозначается как

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

(или просто A > 0), а множество всех положительно определенных матриц часто обозначают

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется положительно полуопределенной, если для всех векторов справедливо неравенство xAx ≥ 0. Это записывается как

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

(или просто A ≥ 0), а множество всех положительно полуопределенных матриц часто обозначают

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Аналогично симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется отрицательно определенной

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

, если для всех ненулевых векторов xⁿ справедливо неравенство xAx при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

), если для всех ненулевых векторов xⁿ справедливо неравенство xAx ≤ 0.

Наконец, симметричная матрица A ∈ 𝕊ⁿ называется неопределенной, если она не является ни положительно полуопределенной, ни отрицательно полуопределенной, то есть если существуют векторы x₁, x₂ ∈ ⁿ такие, что

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

Собственные значения и собственные векторы

Для квадратной матрицы Aⁿˣⁿ комплексное значение λ ∈ ℂ и вектор x ∈ ℂⁿ будут соответственно являться собственным значением и собственным вектором, если выполняется равенство

при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть фото при каком значении альфа векторы ортогональны. Смотреть картинку при каком значении альфа векторы ортогональны. Картинка про при каком значении альфа векторы ортогональны. Фото при каком значении альфа векторы ортогональны

На интуитивном уровне это определение означает, что при умножении на матрицу A вектор x сохраняет направление, но масштабируется с коэффициентом λ. Заметим, что для любого собственного вектора x ∈ ℂⁿ и скалярного значения с ∈ ℂ справедливо равенство A(cx) = cAx = cλx = λ(cx). Таким образом, cx тоже является собственным вектором. Поэтому, говоря о собственном векторе, соответствующем собственному значению λ, мы обычно имеем в виду нормализованный вектор с длиной 1 (при таком определении все равно сохраняется некоторая неоднозначность, так как собственными векторами будут как x, так и –x, но тут уж ничего не поделаешь).

Перевод статьи был подготовлен в преддверии старта курса «Математика для Data Science». Также приглашаем всех желающих посетить бесплатный демоурок, в рамках которого рассмотрим понятие линейного пространства на примерах, поговорим о линейных отображениях, их роли в анализе данных и порешаем задачи.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *