Как начертить две параллельные прямые
Построение параллельных прямых
Для изображения в пространстве прямых, что параллельны друг другу, с использованием разнообразных инструментов опираются на свойства их параллельности.
Изображение параллельных прямых с применением угольника и линейки
Изображение параллельных прямых с использованием циркуля и линейки
Также широко применяется способ изображения параллельных прямых с применением линейки и циркуля.
Часто требуется просто изобразить параллельные прямые без начальных условий. В подобном варианте просто нужно самостоятельно изобразить прямую и поставить точку, не лежащую на этой прямой.
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
Итак, порядок изображения параллельной прямой:
Изображение параллельной прямой, отдаленной на определенное расстояние от имеющейся
Для изображения параллельной прямой, относительно имеющейся, на определенном конкретном расстоянии можно использовать угольник и линейку. \(К\) примеру, изображена прямая \(MN\) и задано некое расстояние \(a\) :
Прочие способы изображения параллельных прямых
В чертежной сфере часто применяют способ изображения с использованием рейсшины. Столяры при изготовлении изделий часто используют так называемый инструмент – малку, состоящую из двух планок на шарнирах. Этим инструментом наносят разметку с использованием принципов параллельных прямых.
Не нашли нужную информацию?
Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.
Гарантия низких цен
Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.
Доработки и консультации включены в стоимость
В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.
Вернем деньги за невыполненное задание
Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.
Тех.поддержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.
Тысячи проверенных экспертов
Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».
Гарантия возврата денег
Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!
Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока
Гарантия возврата денег
В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы
Отзывы студентов о нашей работе
«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами
Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:
Принимаем к оплате 
Параллельные прямые
Урок 45. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Параллельные прямые»
Две прямые на плоскости могут либо пересекаться, либо не пересекаться.
Даже если на рисунке мы не видим точку пересечения прямых n и s, это не значит, что они не пересекаются вовсе. Помните, что прямые можно бесконечно продлевать в обе стороны.
А значит, продлив прямые, мы найдём точку пересечения прямых.
А вот прямые t и d не пересекутся никогда.
Такие прямые называют параллельными.
Таким образом, две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.
На рисунке прямая t параллельна прямой d.
В математике слово “параллельные” обозначают специальным символом:
В математике вы уже не раз встречались с параллельными прямыми.
Например, если продлить противоположные стороны прямоугольника, то полученные прямые будут параллельны.
Кроме того, представление о параллельных прямых мы можем получить, если посмотрим на железнодорожные рельсы или на электрические провода.
Убедиться в том, что две прямые параллельны можно с помощью чертёжного треугольника и линейки.
Давайте определим, параллельна ли прямая АВ прямой СD, параллельна ли прямая АВ прямой МТ. Для этого берём чертёжный треугольник и совмещаем сторону прямого угла чертёжного треугольника с прямой АВ. К другой стороне угольника прикладываем линейку.
Теперь двигаем угольник вдоль линейки до прямой СD.
Двигаемся до прямой МТ.
Прямая АВ не параллельна прямой МТ.
Построить параллельные прямые не сложно.
Для построения прямой линии, параллельной прямой k, надо приложить угольник к прямой k, к другой стороне угольника прикладываем линейку. Теперь двигаем угольник вдоль линейки. Проводим прямую t вдоль другой стороны угольника.
Если нам нужно провести прямую через определённую точку, мы будем действовать так же: прикладываем угольник и линейку; затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на стороне угольника; теперь проведём прямую d.
Построение параллельных прямых закончено.
Обратите внимание, что через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Кстати, прибор, которым пользуются плотник и столяр для построения линии параллельной краю доски называется рейсмус.
Вернёмся к чертежу, на котором мы строили параллельные прямые.
Посмотрите внимательно на рисунок: прямая t параллельна прямой k. Кроме того, прямая d параллельна прямой k. Не сложно убедиться, что прямые t и d тоже параллельны.
То есть, если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны.
А это значит, что если вдоль другой стороны угольника провести прямую а, то эта прямая будет перпендикулярна прямой k. Кроме того, прямая t будет перпендикулярна прямой а.
А сами прямые k и t параллельны.
То есть, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Например, если продлить смежные (то есть соседние) стороны прямоугольника, то полученные прямые будут перпендикулярны.
А значит, противоположные стороны прямоугольника будут параллельны.
Кроме параллельных прямых в математике есть понятие «параллельные отрезки (или лучи)».
Отрезки (или лучи), лежащие на параллельных прямых называются параллельными.
Например, отрезки KT и OP параллельны, т.к. через них можно провести параллельными прямые. Лучи SA и HB лежат на параллельных прямых, а значит параллельны.
Приведём примеры параллельных прямых в окружающей обстановке.
Посмотрите внимательно, противоположные стороны картины параллельны. Кроме того, параллельные отрезки можно найти и на двери, и на окне, и даже на обоях.
Две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.
Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Геометрия
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Определение параллельных прямых
Из аксиом геометрии известно, что две прямые могут иметь единственную общую точку. В этом случае их называют пересекающимися. Как пример приведем рисунок:
Здесь a и c пересекаются в А. Однако прямые на плоскости можно расположить так, что они не будут пересекаться:
Как бы далеко мы не продолжали а и с, они никогда не пересекутся. В подобном случае говорят, что a и c параллельны.
Дадим определение параллельных прямых:
Для подобного отношения существует специальный значок, который выглядит как две вертикальные черточки: a||c.
Параллельными бывают и другие геометрические фигуры: отрезки, лучи. Для этого они должны лежать на параллельных прямых:
Здесь АВ||CD. У многих геометрических фигур параллельны противоположные стороны. Достаточно вспомнить квадрат или прямоугольник.
Представим себе кубик с шестью гранями. Обозначим буквами его вершины:
Несложно заметить, что отрезки TE и UJ и их продолжения не пересекаются. Но это не значит, что TE||UJ. Дело в том, что ребра TE и UJ не лежат в одной плоскости. Для подобных случаев используется термин «скрещивающиеся» отрезки.
Аксиома параллельности
Ясно, что через точку, лежащую на прямой, не получится провести другую прямую, которая будет ей параллельна. Но в противном случае это возможно. В древности Евклид, великий древнегреческий ученый, создавший классическую геометрию, сформулировал знаменитую аксиому параллельности, известную как пятый постулат:
На рисунке через А проходит с, которая параллельна а. Любая другая прямая, которой принадлежит А (в данном случае d), обязательно будет пересекать а.
Это утверждение кажется очевидным, но в реальности пятый постулат веками будоражил умы величайших математиков мира. Дело в том, что аксиомой считается утверждение, которое считается очевидным и не может быть доказано. Они являются основанием всех логических умозаключений, которые используются при доказательстве теорем. Однако многие ученые полагали, что пятый постулат можно вывести из других аксиом.Но за две тысячи лет никому так и не удалось сделать это.
В XIX веке россиянин Лобачевский попробовал построить доказательство пятого постулата методом «от противного». Он предположил, что пятый постулат неверен, и на основе этого утверждения стал доказывать теоремы, ожидая, что когда-нибудь получится прийти к противоречию. В результате ученый создал отдельную геометрию, которую сегодня называют геометрией Лобачевского, однако к противоречию он так и не пришел. Тем самым он доказал, что всем известная евклидовая геометрия является не единственно возможной. Существуют альтернативные ей геометрические системы, которые сегодня называют неевклидовыми. Это одно из величайших открытий в истории математики, которое позже легло в основу теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном.
Но вернемся к евклидовой геометрии. Из аксиомы параллельности следует следующее утверждение:
Такое свойство называют транзитивностью. Докажем его методом «от противного». Пусть а||c и a||b. Предположим, что b и с пересекаются в D:
В результате через D проходят сразу две различные прямые, которые параллельны a. Но по пятому постулату это невозможно. Получается противоречие. Значит, исходное утверждение (о том, что b и с пересекаются) ошибочно, а поэтому b||c.
Секущая
При этом она образует 8 углов:
Здесь с – это секущая, а||b. Образованные углы можно разбить на пары, которые имеют особое название. Накрест секущими называют пары ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠6, ∠2 и ∠8:
Еще 4 пары называют соответственными углами. Это ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠8:
Третья группа углов носит название односторонних. К ним относят пары∠1 и ∠6, ∠2 и ∠7, ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠8:
Те углы, которые расположены между параллельными прямыми, носят название внутренних. На рисунке таковыми являются ∠1, ∠4, ∠5 и ∠6. Остальные углы считаются внешними. Можно заметить, что пары накрест лежащих и односторонних углов образуются либо двумя внешними (на рисунке расположены справа), либо двумя внутренними углами. А вот пара соответственных углов всегда состоит из одного внешнего и одного внутреннего угла.
Теорема о прямых, перпендикулярных секущей
Докажем следующее утверждение:
На рисунке это будет выглядеть так:
Кажется очевидным, что aи b никогда не пересекутся, однако доказать это на основе аксиом геометрии не так-то просто! Попробуйте сначала сделать это самостоятельно, а если не получилось, то смотрите сюда:
Доказательство построено на методе «от противного». Допустим, что a и b пересекутся в точке, которую мы обозначим как А. Теперь отобразим (как будто в зеркале) полученный треугольник DKA симметрично относительно c. При этом отражение А обозначим как А’. ∠ADK равен 90°, поэтому и угол ∠A’DK также равен 90°. Тогда ∠А’DА=∠ADK+∠A’DK=90°+90°=180°. Это означает, что линия АDА’) является прямой. Тоже самое можно доказать и для линии АKА’.
Получаем, что через А и A’ проходит две разных прямых. Однако одна из аксиом геометрии гласит, что через две точки можно провести единственную прямую. Полученное противоречие говорит о том, что изначальное утверждение ошибочно, и a и b не пересекаются.
Признаки параллельности прямых
По характерным углам, которые образуются секущей, можно определить параллельность прямых. Первый из признаков параллельности двух прямых звучит так:
Попробуем доказать это. Пусть c – секущая для aи b, и ∠1 равен∠5.
Сначала рассмотрим простейший случай, когда эти углы прямые. Тогда a и b перпендикулярны c,а потому a||b. В более сложном случае ∠1 и ∠5 не равны 90°. Тогда с середины отрезка АВ (обозначим ее как О), опустим перпендикуляр на a, а точку их пересечения обозначим как H. Далее построим отрезок АК, который лежит на b и равен по длине BH:
Теперь рассмотрим треугольники АОК и ВОН. ∠ОАК и ∠НВО равны друг другу, также равны и две прилегающие к нему стороны: ОА=ОВ (так как О – середина отрезка АВ) и HB=АК. Получаем, что эти треугольники равны друг другу по 1-ому признаку равенства треугольников (смотри урок 3).
Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, равны ∠АОК и ∠НОВ, поэтому они являются вертикальными.Это означает, что Н, О и К располагаются на одной прямой. Во-вторых, угол ∠ОКА=∠ВНО=90°. Следовательно, отрезок HK перпендикулярен и к a, и к b. Поэтому a||b.
Второй признак формулируется так:
Действительно, пусть ∠3 и ∠5 равны друг другу. Тогда∠1 равен∠3, так как они вертикальные. Получаем, что ∠5=∠3=∠1. Но ∠5 и ∠1 накрест лежащие. Их равенство ранее доказанному1-ому признаку параллельности означает, a||b.
Третий признак звучит так:
Пусть ∠5+∠4=180° (1). Так как ∠4 и ∠1 являются смежными, то для них можно записать равенство: ∠4+∠1=180°. Отсюда можно получить значение угла 4: ∠4=180°-∠1. Подставляя это уравнение в выражение (1), получаем:
∠5+(180°-∠1)=180. Раскрывая скобки и перенося слагаемые в правую часть, можно получить равенство ∠5=∠1. Но эти углы являются накрест лежащими, а потому их равенство означает, что a||b.
Расстояние между параллельными прямыми
Дадим определение расстояния между параллельными прямыми:
На этом рисунке a||b, из D опущен перпендикуляр на b. Длина полученного отрезка DK и является расстоянием между aи b. Несложно убедиться, что его величина не зависит от выбора точки D. Докажем это утверждение:
Опустим из двух произвольных точек D и D’, принадлежащих a, перпендикуляры на b. Обозначим точки, в которых они пересекут b, как K и K’. Kи D’ соединим отрезком, который окажется секущим. А теперь внимательно изучим треугольники DKD’и KK’D’. У них есть общая сторона KD’. ∠D’KK’ и ∠KD’D равны друг другу как накрест лежащие. По той же причине можно записать равенство ∠DKD’=∠KD’K’. Получается, что эти треугольники равны друг другу по стороне и двум прилегающим углам. Из это следует, что DK=D’K’.
Заметим, что если прямые не параллельны, то длина перпендикуляра будет меняться в зависимости от выбора исходной точки. Поэтому понятие расстояния для пересекающихся прямых теряет смысл.
Способы построения параллельных прямых
На уроках геометрии обязательно придется строить параллельные отрезки. Как это делать быстро с помощью подручных инструментов? Самый простой практический способ построения параллельных прямых требует наличия только линейки и угольника.
Сначала надо приложить угольник к исходному отрезку. Далее к боковой грани угольника прикладывают линейку. После этого треугольник можно двигать по линейке, которую надо удерживать неподвижно. Когда угольник займет новое положение, можно будет построить отрезок, параллельный исходному:
В геометрии ещё с античных времен существуют так называемые задачи на построение. В них требуется построить требуемый рисунок, используя только два предмета: циркуль и линейку. При этом на линейке нет никаких делений. Как же построить параллельные отрезки с помощью этих двух инструментов?
Рассмотрим такую задачу: дана прямая a и точка D, не лежащая на ней. Требуется построить через D такую b, что a||b:
Решение состоит из нескольких шагов. Сначала надо провести из D окружность произвольного радиуса, но достаточно большую, чтобы, она пересекла a в двух точках. Обозначим их как K и K’.
Далее из этих точек мы проводим две окружности равных радиусов, при этом также таких, чтобы они пересекались в двух точках. Для определенности в качестве радиуса можно взять длину отрезка KK’. Точки пересечения этих окружностей обозначим как Fи F’:
Соединяя эти две точки, мы получим перпендикуляр к a, который проходит через D. В принципе, для построения достаточно использовать одну точку(либо F, либо F’):
На следующем шаге проводится окружность любого радиуса с центром в D. Обозначим буквами M и M’ точки, где она пересекается с FF’:
Последний шаг. Проводим из M и M’ окружности, чьи радиусы равны MM’. Они пересекутся в двух точках, V и V’. Прямая VV’ будет параллельна исходной прямой a:
Из этого урока вы узнали, какие прямые именуются параллельными, и по каким признакам их можно определить. Эти знания очень пригодятся не только при изучении геометрии, но и в других областях. При построении инженерами чертежей и 3D моделей именно параллельные отрезки играют ключевую роль.
Посмотрите на окружающий мир и оцените, сколько в нем параллельных линий. Можно вспомнить:
Это доказывает, что геометрия – не сухая бумажная наука, рассуждающая об абстрактных понятиях, а практически важная дисциплина. Её изучение обязательно пригодится в будущем. Ждем вас на следующем уроке!